Beweis der grundlegenden Eigenschaften in abelschen Gruppen

Zu 1.:  Angenommen 0' ist ein weiteres, also von 0 verschiedenes, neutrales Element in V. Sowohl 0 als auch 0' liefern daher bei einer Addition den zweiten Summanden als Ergebnis; für die Summe 0' + 0 hat man daher:
 

0' = 0' + 0 = 0,

also den Widerspruch  0' = 0.

Zu 2.:  Zur Definition des Gruppenbegriffs gehört die Forderung, jedes v Î V besitzt mindestens ein inverses Element. Es reicht daher zu zeigen: v besitzt höchstens ein inverses Element. Dazu nehmen wir wieder an, w und w' seien zwei verschiedene inverse Elemente zu v; mit Hilfe der Assoziativität von  +  führen wir die folgende Rechnung:
 

w = 0 + w = (w' + v) + w = w' + (v + w) = w' + 0 = w',

und erhalten so den Widerspruch w = w'.

Zu 3.:  Die Gleichung 0 + 0 = 0 belegt, dass 0 ein inverses Element zu 0 ist. Nach 2. besitzt 0 aber nur ein inverses Element, nämlich (das formale Element) -0; daher ist  -0 = 0.

Zu 4.:  Ähnlich zu 3. reicht es zu zeigen: v ist invers zu -v, denn dann ist v das inverse Element zu -v, also: -(-v) = v. Als inverses Element zu v erfüllt -v die Gleichungen
 

v + (-v) = 0 = (-v) + v.

Gleichzeitig bedeuten diese Gleichungen aber auch: v ist invers zu -v.

Zu 5.:  Wieder reicht es nachzurechnen, dass (-v) + (-w) invers zu v + w = w + v ist; auch hier benötigen wir die Assoziativität von  + :
 

(w + v) + ((-v) + (-w)) = w + ((v + (-v)) + (-w)) = w + (0 + (-w)) = w + (-w) = 0.

Da  +  kommutativ ist, hat man ((-v) + (-w)) + (w + v) = 0 bereits mit bewiesen.