Beweis der Grenzwertsätze

Für jeden der vier Konvergenznachweise geben wir ein

ε > 0

vor.

1. ►

Da $a_{n} \to a$ , gibt es zu $\frac{ε}{2} > 0$ ein $n_{1} \in ℕ^{*}$ , so dass $| a_{n} - a | < \frac{ε}{2} für alle n \geq n_{1}$ . In ähnlicher Weise findet man ein $n_{2} \in ℕ^{*}$ , derart dass $| b_{n} - b | < \frac{ε}{2} für alle n \geq n_{2}$ .

Für alle $n \geq n_{0} ≔ \max {n_{1}, n_{2}}$ gilt somit unter Verwendung der Dreiecksungleichung:

$| a_{n} + b_{n} - (a + b) | = | a_{n} - a + b_{n} - b | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .$

2. ►

Hier ist der Beweis eine leichte Modifikation der gerade geführten Überlegungen.

3. ►

Der Beweis des dritten Grenzwertsatzes ist aufwändiger. Zunächst beachte man dass $(a_{n})$ als konvergente Folge auch beschränkt ist (siehe [5.5.1]), es gibt also ein $s \in ℝ^{> 0}$ , so dass $| a_{n} | \leq s für alle n \in ℕ^{*}$ .

Da $a_{n} \to a$ , gibt es nun zu $\frac{ε}{2 (| b | + 1)} > 0$ ein $n_{1} \in ℕ^{*}$ , so dass

| a_{n} - a | < \frac{ε}{2 (| b | + 1)} für alle n \geq n_{1} .

Analog findet man zu $\frac{ε}{2 s} > 0$ ein $n_{2} \in ℕ^{*}$ mit

| b_{n} - b | < \frac{ε}{2 s} für alle n \geq n_{2} .

Mit diesen Ungleichungen können wir nun für alle $n \geq n_{0} ≔ \max {n_{1}, n_{2}}$ folgendermaßen abschätzen:

$\begin{array}{l} | a_{n} b_{n} - a b | = | a_{n} b_{n} - a_{n} b + a_{n} b - a b | & \leq | a_{n} (b_{n} - b) | + | b (a_{n} - a) | \\ = | a_{n} | \cdot | b_{n} - b | + | b | \cdot | a_{n} - a | \\ \leq s \cdot | b_{n} - b | + | b | \cdot | a_{n} - a | \\ < s \cdot \frac{ε}{2 s} + | b | \cdot \frac{ε}{2 (| b | + 1)} \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \\ = ε . \end{array}$

Bei der letzten Abschätzung haben wir $\frac{| b |}{| b | + 1} < 1$ benutzt. (Die etwas unmotiviert erscheinende Additon von 1 im Nenner dient übrigens nur dazu den möglichen Fall $b = 0$ zu beherrschen.)

4. ►

Nach der Anmerkung auf der Hauptseite dürfen wir o.E. für alle n $b_{n} \neq 0$ annehmen. Ferner reicht es nur den Spezialfall

b_{n} \to b \Rightarrow \frac{1}{b_{n}} \to \frac{1}{b}

[1]

zu zeigen. Mit dem dritten Grenzwertsatz ergibt sich daraus nämlich: $\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{1}{b_{n}} \cdot a_{n} \to \frac{1}{b} \cdot a = \frac{a}{b}$ .

Nun zum Beweis von [1]. Zunächst finden wir ein $n_{1} \in ℕ^{*}$ , so dass

| b_{n} | > \frac{| b |}{2} für alle n \geq n_{1}

[2]

denn da $b_{n} \to b$ gibt es zu $\frac{| b |}{2} > 0$ ein $n_{1} \in ℕ^{*}$ mit $| b - b_{n} | < \frac{| b |}{2} für alle n \geq n_{1}$ . Mit der zweiten Dreiecksungleichung erhält man für diese n: $| b | - | b_{n} | \leq | b - b_{n} | < \frac{| b |}{2}$ und damit

\frac{| b |}{2} = | b | - \frac{| b |}{2} < | b_{n} | für alle n \geq n_{1} .

Wir nutzen noch einmal die Konvergenz $b_{n} \to b$ aus und finden zu $\frac{ε b^{2}}{2} > 0$ ein $n_{2} \in ℕ^{*}$ , so dass

| b - b_{n} | < \frac{ε b^{2}}{2} für alle n \geq n_{2} .

[3]

Mit [2] und [3] hat man nun für alle $n \geq n_{0} ≔ \max {n_{1}, n_{2}}$ :

| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} | = | \frac{b - b_{n}}{b_{n} \cdot b} | \leq \frac{| b - b_{n} |}{\frac{| b |}{2} \cdot | b |} = \frac{2 | b - b_{n} |}{b^{2}} < \frac{2 ε b^{2}}{2 b^{2}} = ε