Die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist die mit Abstand berühmteste und wohl auch älteste rekursive Folge. Ihren Ursprung hat sie in einer Aufgabe, die Leonardo Pisano Fibonacci 1202 in seinem Buch Liber abacci veröffentlicht hat.

Sie stellt gleichzeitig einen ersten, und daher auch stark vereinfachten, Versuch dar dynamisches Geschehen mit mathematischen Mitteln zu beschreiben: Ein Mann setzt ein junges Kaninchenpaar in einen geschlossenen Garten. Nach zwei Monaten sind die Tiere fortpflanzungsfähig und bekommen von da an jeden Monat zwei Junge. Wie viele Kaninchenpaare gibt es nach einem Jahr?

Zählt man nun - etwa 7 Monate lang - die Kaninchen, so ergibt sich die folgende Tabelle (k sei dabei ein junges, k ein einmonatiges und K ein erwachsenes Tier):

Man erkennt sofort, dass die Anzahl der Paare den ersten sieben Fibonacci-Zahlen entspricht. Die zwölfte Fibonacci-Zahl, das ist 144, ist also die Lösung des Kaninchen-Problems.

Über diesen bescheidenen Ansatz zur Populationsdynamik hinaus, entfalten die Fibonacci-Zahlen einen unerwarteten Reichtum an mathematischen Zusammenhängen. So ist z.B. ein Bezug zum Prinzip des goldenen Schnitts

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Der goldene Schnitt ist die Lösung einer Teilungsaufgabe: Eine gegebene Strecke der Länge $s>0$ ist so in zwei Abschnitte zu teilen, dass sich die gesamte Strecke zum größeren Abschnitt genauso verhält wie der größere Abschnitt zum kleineren. Fasst man die Strecke als das Intervall $[0,s]$ auf, hat man also eine Zahl x aus $]0,s[$ zu finden, so dass ${\displaystyle \frac{s}{x}=\frac{x}{s-x}\text{.}}$ Die Teilungsaufgabe ist also gelöst, wenn wir die quadratische Gleichung $s^2-sx=x^2$ nach x auflösen können. Für $x\in ]0,s[$ hat man aber nach der p/q-Formel: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & x^2+sx-s^2=0\hfill \\ \iff \hfill & x=-\frac{s}{2}+\sqrt{\frac{s^2}{4}+s^2}\hfill \\ \iff \hfill & x=-\frac{s}{2}+\frac{s}{2}\sqrt{5}\hfill \\ \iff \hfill & x=s\cdot \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\hfill \\ \iff \hfill & x=s\cdot \mathsf{\varphi }\text{.}\hfill \end{array}}$ Man gewinnt den Teilungspunkt x also durch einfaches Multiplizieren der Streckenlänge s mit der Schnittzahl $\mathsf{\varphi }$.

  nachzuweisen. In diesem Zusammenhang gelingt es auch, die Fibonacci-Folge rekursionsfrei zu schreiben. Wir benötigen dazu die Zahlen des goldenen Schnitts

Beachte:

Die Schnittzahlen weisen einige interessante Eigenschaften auf. Die folgenden drei helfen uns bei den weiteren Überlegungen.

• $\mathsf{\Phi }-\mathsf{\varphi }=1$

• $\mathsf{\Phi }\cdot \mathsf{\varphi }=1$

• $(x-\mathsf{\Phi })\cdot (x+\mathsf{\varphi })=x^2-(\mathsf{\Phi }-\mathsf{\varphi })x-\mathsf{\Phi }\cdot \mathsf{\varphi }=x^2-x-1$

  $\mathsf{\Phi }\text{ und }-\mathsf{\varphi }$ sind damit Lösungen der quadratischen Gleichung  $x^2-x-1=0$, man weiß also:

  $\begin{array}{l}{\mathsf{\Phi }}^2=\mathsf{\Phi }+1\hfill \\ {(-\mathsf{\varphi })}^2=-\mathsf{\varphi }+1\text{.}\hfill \end{array}$
  
   

Nach diesen Vorbereitungen können wir eine rekursionsfreie Darstellung der Fibonacci-Folge angeben.

Wer sich weiter mit den Fibonacci-Zahlen beschäftigen möchte, findet hier sehr umfangreiche Informationen.