Exkurs: Die elementarsymmetrischen Funktionen

In diesem Exkurs untersuchen wir die sog. elementarsymmetrischen Funktionen des

ℝ^{n}

, insbesondere ihren Bezug zum Satz des Viëta.

Bei der Formulierung der Funktionsvorschriften von

s_{1}, \dots, s_{n} : ℝ^{n} \to ℝ

benutzen wir die folgenden Teilmengen der Potenzmenge $𝒫 ({1, \dots, n})$ : Für $1 \leq i \leq n$ sei

𝒫_{i} ≔ {A \subset {1, \dots, n} | A besitzt genau i viele Elemente}

So ist z.B. in $ℝ^{3}$ : $𝒫_{1} = {{1}, {2}, {3}}$ , $𝒫_{2} = {{1,2}, {1,3}, {2,3}}$ und $𝒫_{3} = {{1,2,3}}$ .

Für $1 \leq i \leq n$ definieren wir jetzt

s_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) ≔ \sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{i}} x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}}

Man beachte, dass das Produkt $x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}}$ nicht von der Reihenfolge der Faktoren abhängt. $s_{i}$ ist daher wohldefiniert.

Als Beispiel ermitteln wir die drei elementarsymmetrischen Funktionen des $ℝ^{3}$ :

$𝒫_{3}$ enthält nur ein Element, nämlich ${1,2,3}$ , so dass bei der Ermittlung von $s_{3}$ nur ein Summand anfällt, und zwar ein Produkt der Länge 3:

$s_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$
$𝒫_{2}$ enthält drei Elemente, also treten drei Summanden auf; es sind Produkte der Länge 2:

$s_{2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3}$
$𝒫_{1}$ schließlich enthält ebenfalls drei Elemente, die drei Summanden bestehen hier allerdings aus Produkten der Länge 1:

$s_{1} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} + x_{2} + x_{3}$

Beachte:

$s_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})$ ist die Summe aller Produkte der Länge i, die aus den Zahlen $x_{1}, \dots, x_{n}$ gebildet werden können.
Mit $s_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) ≔ 1$ führt man meist eine weitere elementarsymmetrische Funktion des $ℝ^{n}$ ein. Wir benutzen sie hier nicht.
Gelegentlich schreiben wir $s_{n, i}$ statt $s_{i}$ (und $𝒫_{n, i}$ statt $𝒫_{i}$ ) falls der Bezug zu n nicht klar genug aus dem Kontext hervorgeht.
Alle Ausführungen in diesem Exkurs gelten uneingeschränkt auch im komplexen Fall, also für die analog einzuführbaren elementarsymmetrischen Funktionen des $ℂ^{n}$ .

Der Begriff "symmetrisch" bedeutet bei diesen Funktionen: Jede Umsortierung von $x_{1}, \dots, x_{n}$ liefert denselben Funktionswert wie zuvor.

Bemerkung: Ist $σ$ eine beliebige Permutation von $1, \dots, n$ , so ist

s_{i} (x_{σ (1)}, \dots, x_{σ (n)}) = s_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})

[4.0.1]

Beweis: $σ$ ist eine bijektive Abbildung von ${1, \dots, n}$ auf sich selbst. Durch die Festsetzung

σ^{*} (A) ≔ {σ (j) | j \in A}

induziert $σ$ eine Bijektion $σ^{*}$ von $𝒫_{i}$ auf sich selbst, denn

jedes $σ^{*} (A) \subset {1, \dots, n}$ enthält genau i viele Elemente.
$σ^{*}$ ist injektiv: Ist $σ^{*} (A) = σ^{*} (B)$ für $A, B \in 𝒫_{i}$ , so gilt

$j \in A \Leftrightarrow σ (j) \in σ^{*} (A) = σ^{*} (B) \Leftrightarrow j \in B$ .
$σ^{*}$ ist surjektiv, denn jedes $A \in 𝒫_{i}$ besitzt ein Urbild:

$σ^{*} ({σ^{- 1} (j) | j \in A}) = {σ (σ^{- 1} (j)) | j \in A} = A$ .

Also ist $𝒫_{i}^{*} = {σ^{*} (A) | A \in 𝒫_{i}} = 𝒫_{i}$ und damit:

$\begin{array}{l} s_{i} (x_{σ (1)}, \dots, x_{σ (n)}) & = \sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{i}} x_{σ (j_{1})} \cdot \dots \cdot x_{σ (j_{i})} \\ = \sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{i}^{*}} x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}} \\ = s_{i} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{array}$

Zur Vorbereitung des Viëtaschen Satzes notieren wir zunächst einige Eigenschaften der Funktion $s_{i}$ .

Bemerkung:

$s_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = x_{1} + \dots + x_{n}$	[4.0.2]
$s_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = x_{1} \cdot \dots \cdot x_{n}$	[4.0.3]
Für $1 < i < n + 1$ gilt die folgende Rekursionsformel:
$s_{n + 1, i} (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) = s_{n, i} (x_{1}, \dots, x_{n}) + s_{n, i - 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \cdot x_{n + 1}$	[4.0.4]

Beweis:

1. ► Folgt direkt aus $𝒫_{1} = {{1}, \dots, {n}}$ .

2. ► Ergibt sich mit $𝒫_{n} = {{1, \dots, n}}$ .

3. ► Die disjunkte Vereinigung
i

Eine Vereinigung $A \cup B$ heißt disjunkt falls die Partnermengen elementfremd sind, also $A \cap B = \emptyset$ ist.

\begin{array}{l} 𝒫_{n + 1, i} & = {A \in 𝒫_{n + 1, i} | n + 1 \notin A} \cup {A \in 𝒫_{n + 1, i} | n + 1 \in A} \\ = 𝒫_{n, i} \cup {A \cup {n + 1} | A \in 𝒫_{n, i - 1}} \end{array}

erlaubt es, die Summe $\sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{n + 1, i}} x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}}$ in zwei Summanden aufzuteilen:

\begin{array}{l} s_{n + 1, i} (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) & = \sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{n + 1, i}} x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}} \\ = \sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{n, i}} x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}} + \sum_{{j_{1}, \dots, j_{i}} \in 𝒫_{n, i - 1}} x_{j_{1}} \cdot \dots \cdot x_{j_{i}} \cdot x_{n + 1} \\ = s_{n, i} (x_{1}, \dots, x_{n}) + s_{n, i - 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \cdot x_{n + 1} . \end{array}

Wir beweisen jetzt den Satz von Viëta. Er stellt einen Zusammenhang her zwischen den Lösungen und den Koeffizienten einer Gleichung n-ten Grades.

Bemerkung (Satz von Viëta):

\begin{array}{l} c_{1}, \dots c_{n} sind Lösungen von x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0 \\ \Leftrightarrow & a_{n - i} = {(- 1)}^{i} s_{i} (c_{1}, \dots c_{n}) für 1 \leq i \leq n \end{array}

[4.0.5]

Beweis per Induktion:

Ist $n = 1$ , so liegt eine lineare Gleichung vor. Man hat:

c ist Lösung von $x + a_{0} \Leftrightarrow a_{0} = - c = {(- 1)}^{1} s_{1} (c)$ .
Sei jetzt $x^{n + 1} + a_{n} x^{n} + \dots + a_{0} = 0$ (*) eine Gleichung vom Grad $n + 1$ . Sie hat genau dann die Lösungen $c_{1}, \dots, c_{n + 1}$ , wenn der Gleichungsterm vollständig zerfällt:

$x^{n + 1} + a_{n} x^{n} + \dots + a_{0} = (x - c_{1}) \cdot \dots \cdot (x - c_{n}) \cdot (x - c_{n + 1})$ .

Setzt man $x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0} = (x - c_{1}) \cdot \dots \cdot (x - c_{n})$ , so erhält man:

$\begin{array}{l} x^{n + 1} + a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ = & (x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}) (x - c_{n + 1}) \\ = & x^{n + 1} + b_{n - 1} x^{n} + \dots + b_{1} x^{2} + b_{0} x - c_{n + 1} (x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0}) \\ = & x^{n + 1} + (b_{n - 1} - c_{n + 1}) x^{n} + (b_{n - 2} - c_{n + 1} b_{n - 1}) x^{n - 1} + \dots + (b_{0} - c_{n + 1} b_{1}) x - c_{n + 1} b_{0} . \end{array}$

Ein Koeffizientenvergleich liefert nun die folgende Äquivalenz: $c_{1}, \dots, c_{n + 1}$ lösen (*)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} a_{n} = b_{n - 1} - c_{n + 1} \\ a_{n - i} = b_{n - i - 1} - c_{n + 1} b_{n - i} für 1 \leq i \leq n - 1 \\ a_{0} = - c_{n + 1} b_{0} \end{array} \end{array}$

Die Koeffizienten $b_{n - j}$ gehören zu einer Gleichung vom Grad n, die von $c_{1}, \dots, c_{n}$ gelöst wird. Also greift hier die Induktionsvoraussetzung. Mit [4.0.4] erhalten wir daher:

$\begin{array}{l} a_{n} & = - s_{n,1} (c_{1}, \dots, c_{n}) - c_{n + 1} = {(- 1)}^{1} s_{n + 1,1} (c_{1}, \dots, c_{n + 1}) \\ a_{n - i} & = {(- 1)}^{i + 1} s_{n, i + 1} (c_{1}, \dots, c_{n}) - {(- 1)}^{i} s_{n, i} (c_{1}, \dots, c_{n}) \cdot c_{n + 1} für 1 \leq i \leq n - 1 \\ = {(- 1)}^{i + 1} s_{n + 1, i + 1} (c_{1}, \dots, c_{n + 1}) \\ a_{0} & = - c_{n + 1} {(- 1)}^{n} s_{n, n} (c_{1}, \dots, c_{n}) = {(- 1)}^{n + 1} s_{n + 1, n + 1} (c_{1}, \dots, c_{n + 1}) . \end{array}$
Dies schließlich läßt sich für $1 \leq i \leq n + 1$ zusammenfassen zu

$a_{n + 1 - i} = {(- 1)}^{i} s_{i} (c_{1}, \dots, c_{n + 1})$ .

Damit ist die Induktionsbehauptung bewiesen.

Für Gleichungen dritten Grades beispielsweise hat man nach Viëta:

c_{1}, c_{2}, c_{3}

sind Lösungen von

x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

\begin{array}{l} a_{2} = {(- 1)}^{1} s_{1} (c_{1}, c_{2}, c_{3}) & a_{2} = - (c_{1} + c_{2} + c_{3}) \\ \Leftrightarrow & a_{1} = {(- 1)}^{2} s_{2} (c_{1}, c_{2}, c_{3}) & \Leftrightarrow & a_{1} = c_{1} \cdot c_{2} + c_{1} \cdot c_{3} + c_{2} \cdot c_{3} \\ a_{0} = {(- 1)}^{3} s_{3} (c_{1}, c_{2}, c_{3}) & a_{0} = - c_{1} \cdot c_{2} \cdot c_{3} \end{array}