[4.3.2] und [5.9.19/20] sind gleichwertige Definitionen für sin bzw. cos


Wir müssen zeigen: Für jedes x MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabgIGiolabl2riHcaa@39D9@ ist der gemäß [5.9.19/20] gegebene Punkt (cosx,sinx) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacaGGSaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaamiEaiaacMcaaaa@3F96@ der zum Bogenmaß x gehörende Punkt auf dem Einheitskreis, denn die Koordinaten dieses Punktes sind die Sinus- bzw. Cosinuswerte nach [4.3.2]. Wir zeigen dies o.E. nur für x0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabgwMiZkaaicdaaaa@3965@ .

Nach [5.12.4] sind sin und cos analytische Funktionen, gemäß [7.8.10] ist daher

w:t(cost,sint),t[0,x] MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4DaiaacQdacaWG0bGaeSOPHeMaaiikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadshacaGGSaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaamiDaiaacMcacaGGSaGaaGzbVlaadshacqGHiiIZcaGGBbGaaGimaiaacYcacaWG4bGaaiyxaaaa@4CDC@

ein glatter Weg in 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeSyhHe6aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3841@ , nach dem Satz des Pythagoras [4.3.11] sogar ein Weg auf dem Einheitskreis. Dabei ist (1,0) der Anfangs- und (cosx,sinx) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacaGGSaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaamiEaiaacMcaaaa@3F96@ der Endpunkt. Wir berechnen nun mittels [8.6.16] die Länge dieses Wegs:

L(w) = 0 x | w | = 0 x |(sin,cos)| = 0 x sin 2 + cos 2 = 0 x 1 =x MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabqGaaaaabaGaamitaiaacIcacaWG3bGaaiykaaqaaiabg2da9maapehabaGaaiiFaiqadEhagaqbaiaacYhaaSqaaiaaicdaaeaacaWG4baaniabgUIiYdaakeaaaeaacqGH9aqpdaWdXbqaaiaacYhacaGGOaGaeyOeI0Iaci4CaiaacMgacaGGUbGaaiilaiGacogacaGGVbGaai4CaiaacMcacaGG8baaleaacaaIWaaabaGaamiEaaqdcqGHRiI8aaGcbaaabaGaeyypa0Zaa8qCaeaadaGcaaqaaiGacohacaGGPbGaaiOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiGacogacaGGVbGaai4CamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaqaaiaaicdaaeaacaWG4baaniabgUIiYdaakeaaaeaacqGH9aqpdaWdXbqaaiaaigdaaSqaaiaaicdaaeaacaWG4baaniabgUIiYdGccqGH9aqpcaWG4baaaaaa@66B8@

w ist also ein Bogen der Länge x auf dem Einheitskreis der in (1,0) beginnt in (cosx,sinx) MathType@MTEF@5@5@+=feaafeart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFepeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacaGGSaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaamiEaiaacMcaaaa@3F96@ endet. Dies wollten wir zeigen.