9.17. Abstandsmessungen

Über die Länge des Lotvektors konnten wir im letzten Abschnitt den Nullabstand eines affinen Unterraums M errechnen. Hier nun soll dieser elementare Abstandsbegriff in zwei Schritten erweitert werden. Wir ermitteln

1. den Abstand von M zu einem beliebigen Punkt p,
2. den Abstand von M zu einem weiteren affinen Unterraum N.

Wie bisher sei wieder ${\displaystyle M=\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$ ein beliebiger k-dimensionaler affiner Unterraum des ${\displaystyle {ℝ}^m}$, l der zugehörige Lotvektor. Im Fall ${\displaystyle 0<k<m}$ stehen uns ${\displaystyle {\mathit{n}}_{k+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ als Normalenvektoren zur Verfügung.

 

Sei nun p ein beliebiger Punkt des ${\displaystyle {ℝ}^m}$. Setzt man   ${\displaystyle M_{\mathit{p}}=\mathit{p}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$, so entsteht ein zu M parallel verschobener affiner Unterraum, der den Punkt p enthält. Die nebenstehende Skizze zeigt dies für den Fall einer Geraden in ${\displaystyle {ℝ}^2}$. Zugleich wird deutlich, dass die Abstandsmessung nicht unbedingt an der Stelle p durchgeführt werden muss, sondern dass man dazu auch die beiden Lotvektoren heranziehen darf.

 

Definition:  Es sei M ein affiner Unterraum und p ein Punkt des ${\displaystyle {ℝ}^m}$. Ist ${\displaystyle \mathit{l}}$ der Lotvektor von M und ${\displaystyle \mathit{l}\text{'}}$ der Lotvektor des durch p gehenden parallelen affinen Unterraums ${\displaystyle M_{\mathit{p}}}$, so nennen wir die Zahl ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=|\mathit{l}-\mathit{l}\text{'}|}$ den Abstand von p zu M.

In den Sonderfällen ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle k=m}$ sind die Abstandmessungen leicht durchzuführen:
 

• Ist ${\displaystyle k=0}$, also ${\displaystyle M=\{\mathit{a}\}}$ und ${\displaystyle M_{\mathit{p}}=\{\mathit{p}\}}$, so ist ${\displaystyle \mathit{l}=\mathit{a}}$ und ${\displaystyle \mathit{l}\text{'}=\mathit{p}}$. Hier also ist
   
  ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=d(\mathit{p},\{\mathit{a}\})=|\mathit{a}-\mathit{p}|}$
  
  der gewöhnliche Abstand zwischen den Punkten a und p.
    
• Ist ${\displaystyle k=m}$, also ${\displaystyle M={ℝ}^m}$ und ${\displaystyle M_{\mathit{p}}={ℝ}^m}$, so ist ${\displaystyle \mathit{l}=\mathbf{0}}$ und ebenfalls ${\displaystyle \mathit{l}\text{'}=\mathbf{0}}$. Man hat daher:
   
  ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=d(\mathit{p},{ℝ}^m)=|\mathbf{0}-\mathbf{0}|=0}$.
  
   

In den "eigentlichen" Fällen, d.h. für ${\displaystyle 0<k<m}$, benötigen wir Normalenvektoren zur Abstandsermittlung.
  

Bemerkung:  Sind ${\displaystyle {\mathit{n}}_{k+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ Normalenvektoren von M, so gilt für jeden Punkt p:   ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=\sqrt{{({\mathit{n}}_{k+1}·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2+\dots +{({\mathit{n}}_m·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2}}$. Beweis: M und ${\displaystyle M_{\mathit{p}}}$ besitzen denselben zugrunde liegenden Raum. Man darf daher für M und ${\displaystyle M_{\mathit{p}}}$ auch dieselben Normalenvektoren ${\displaystyle {\mathit{n}}_{k+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ wählen. Für die beiden Lotvektoren ergibt sich also:   ${\displaystyle \begin{array}{l}\mathit{l}=({\mathit{n}}_{k+1}·\mathit{a}){\mathit{n}}_{k+1}+\dots +({\mathit{n}}_m·\mathit{a}){\mathit{n}}_m\hfill \\ \mathit{l}\text{'}=({\mathit{n}}_{k+1}·\mathit{p}){\mathit{n}}_{k+1}+\dots +({\mathit{n}}_m·\mathit{p}){\mathit{n}}_m.\hfill \end{array}}$ Da nun ${\displaystyle \mathit{l}-\mathit{l}\text{'}=({\mathit{n}}_{k+1}·(\mathit{a}-\mathit{p})){\mathit{n}}_{k+1}+\dots +({\mathit{n}}_m·(\mathit{a}-\mathit{p})){\mathit{n}}_m}$ eine Linearkombination von orthonormalen Vektoren ist, ist die Länge von ${\displaystyle \mathit{l}-\mathit{l}\text{'}}$ identisch mit der Länge des zugehörigen Koordinatenvektors:   ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=\sqrt{{({\mathit{n}}_{k+1}·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2+\dots +{({\mathit{n}}_m·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2}}$.

Beachte:

• Ist M eine Hyperebene, also ${\displaystyle k=m-1}$, so lässt sich die Abstandsformel stark vereinfachen (mit ${\displaystyle \mathit{n}}$ statt ${\displaystyle {\mathit{n}}_m}$):
   
  ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=|\mathit{n}·(\mathit{a}-\mathit{p})|}$.
   

Wir notieren einige Eigenschaften des Abstandsbegriffs. 4. in der folgenden Aufstellung stellt sicher, dass unsere Abstandsberechnung die intuitive Vorstellung der kürzesten Entfernung trifft.
 

Bemerkung:  ${\displaystyle d(\mathbf{0,}M)}$ ist der Nullabstand von M.   Für jedes ${\displaystyle \mathit{x}\in M_{\mathit{p}}}$ gilt: ${\displaystyle d(\mathit{x},M)=d(\mathit{p},M)}$.   Ist N ein weiterer affiner Unterraum, so hat man:  ${\displaystyle N\subset M\Rightarrow d(\mathit{p},N)\ge d(\mathit{p},M)}$.   ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=\min \{|\mathit{x}-\mathit{p}||\mathit{x}\in M\}}$.   ${\displaystyle d(\mathit{x},M)=0\iff \mathit{x}\in M}$.   Beweis: Zu 1.:  ${\displaystyle M_{\mathbf{0}}=\mathit{<}{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k\mathit{>}}$ ist ein Untervektorraum, also ist ${\displaystyle \mathit{l}\text{'}=\mathbf{0}}$, d.h. ${\displaystyle d(\mathbf{0,}M)=|\mathit{l}|}$. Zu 2.:  Die Behauptung folgt direkt aus ${\displaystyle M_{\mathit{x}}=M_{\mathit{p}}}$. Zu 3.:  O.E. sei ${\displaystyle N=\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_j>}$ mit einem ${\displaystyle j\le k}$. Ist ${\displaystyle M={ℝ}^m}$, also ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=0}$, so ist nichts zu zeigen. Im anderen Fall greifen wir gemäß 9.16 auf eine orthonormale Fortsetzung ${\displaystyle {\mathit{n}}_{j+1},\dots ,{\mathit{n}}_{k+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ von ${\displaystyle {\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_j}$, zurück. Die dort eingesetzte Methode garantiert, dass ${\displaystyle {\mathit{n}}_{k+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ eine orthonormale Fortsetzung von ${\displaystyle {\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k}$ ist. Damit ergibt sich nun:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}d(\mathit{p},N)\hfill & =\sqrt{{({\mathit{n}}_{j+1}·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2+\dots +{({\mathit{n}}_m·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2}\hfill \\ \hfill & \ge \sqrt{{({\mathit{n}}_{k+1}·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2+\dots +{({\mathit{n}}_m·(\mathit{a}-\mathit{p}))}^2}\hfill \\ \hfill & =d(\mathit{p},M)\hfill \end{array}}$ Zu 4.:  Ist ${\displaystyle \mathit{x}\in M=\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>=\mathit{l}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$, so gibt es ein ${\displaystyle \mathit{w}\in <{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$, so dass ${\displaystyle \mathit{x}=\mathit{l}+\mathit{w}}$. Analog findet man zu ${\displaystyle \mathit{p}\in M_{\mathit{p}}=\mathit{p}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>=\mathit{l}\text{'}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$ ein ${\displaystyle \mathit{w}\text{'}\in <{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$, so dass ${\displaystyle \mathit{p}=\mathit{l}\text{'}+\mathit{w}\text{'}}$. Beachtet man nun, dass ${\displaystyle \mathit{l}-\mathit{l}\text{'}}$ und ${\displaystyle \mathit{w}-\mathit{w}\text{'}}$ zueinander senkrecht stehen, ergibt sich die folgende Abschätzung für die Längenquadrate:   ${\displaystyle |\mathit{x}-\mathit{p}{|}^2=|\mathit{l}-\mathit{l}\text{'}+\mathit{w}-\mathit{w}\text{'}{|}^2=|\mathit{l}-\mathit{l}\text{'}{|}^2+|\mathit{w}-\mathit{w}\text{'}{|}^2\ge |\mathit{l}-\mathit{l}\text{'}{|}^2=d{(\mathit{p},M)}^2}$   Daraus nun folgt: ${\displaystyle |\mathit{x}-\mathit{p}|\ge d(\mathit{p},M)}$ für alle ${\displaystyle \mathit{x}\in M}$, also auch:   ${\displaystyle \min \{|\mathit{x}-\mathit{p}||\mathit{x}\in M\}\ge d(\mathit{p},M)}$ Die Gleichheit folgt nun, wenn wir die Zahl ${\displaystyle d(\mathit{p},M)=|\mathit{l}-\mathit{l}\text{'}|}$ unter den Zahlen ${\displaystyle |\mathit{x}-\mathit{p}|}$ nachweisen können. Dazu betrachten wir noch einmal die Darstellung ${\displaystyle \mathit{p}=\mathit{l}\text{'}+\mathit{w}\text{'}}$. Für ${\displaystyle \mathit{x}=\mathit{l}+\mathit{w}\text{'}\in M}$ ist aber tatsächlich   ${\displaystyle |\mathit{x}-\mathit{p}|=|\mathit{l}+\mathit{w}\text{'}-(\mathit{l}\text{'}+\mathit{w}\text{'})|=|\mathit{l}-\mathit{l}\text{'}|}$   Zu 5.: "${\displaystyle \Rightarrow }$":  Ist ${\displaystyle d(\mathit{x},M)=0}$, so gibt es nach 4. ein ${\displaystyle \mathit{y}\in M}$, so dass ${\displaystyle |\mathit{y}-\mathit{x}|=0}$ ist. D.h. aber: ${\displaystyle \mathit{x}=\mathit{y}\in M}$. "${\displaystyle \Leftarrow }$":  In diesem Fall hat man ${\displaystyle M_{\mathit{x}}=M}$, und damit ${\displaystyle \mathit{l}\text{'}=\mathit{l}}$, d.h. ${\displaystyle d(\mathit{x},M)=|\mathit{l}-\mathit{l}|=0}$ .

In einem zweiten Teil nun soll der Abstand zweier affiner Unterräume zueinander ermittelt werden. Punkt 2. der letzten Bemerkung enthält einen Hinweis darauf, wie man hier vorgehen könnte. Jeder Punkt von ${\displaystyle M_{\mathit{p}}}$ hat denselben Abstand zu M, nämlich ${\displaystyle d(\mathit{p},M)}$, so dass man die Zahl ${\displaystyle d(\mathit{p},M)}$ gut als Abstand zwischen den beiden parallelen affinen Unterräumen ${\displaystyle M_{\mathit{p}}}$ und M auffassen kann.

Zwei beliebige affine Unterräume des ${\displaystyle {ℝ}^m}$

Beachte:

• Wegen ${\displaystyle d(\{\mathit{p}\},M)=d(\mathit{p},a+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,\varnothing >)=d(\mathit{p},M)}$ setzt der neue Abstandsbegriff den alten fort.
   
• ${\displaystyle d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)}$ hängt nicht von der Wahl des Aufpunkts b ab, ${\displaystyle d(N,M)}$ ist also wohldefiniert, denn für alle ${\displaystyle \mathit{x}\in N}$ hat man:
   
  ${\displaystyle d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)=d(\mathit{x},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)}$.
  
  Dies ergibt sich für ${\displaystyle \mathit{x}\in N=\mathit{b}+<{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>\subset \mathit{b}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>={(\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l\mathit{>})}_{\mathit{b}}}$ direkt aus 2. in der ersten Bemerkung.
   
• Die Erzeugersequenz ${\displaystyle {\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l}$ ist in aller Regel nicht mehr linear unabhängig. Bei der Ermittlung der Normalenvektoren von ${\displaystyle \mathit{a}+\mathit{<}{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l\mathit{>}}$ muss also u.U. die Erzeugersequenz zunächst geeignet verkürzt werden!
   

 

Beispiel:  Um den Abstand der beiden Geraden ${\displaystyle g_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)>}$ und ${\displaystyle g_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)>}$ zu berechnen, benötigen wir zunächst einen Normalenvektor von ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)>}$. Wir ermitteln dazu ${\displaystyle (\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right){)}^{°}={\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)}^{°}=\frac{1}{\sqrt{81}}\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)}$ und berechnen dann:   ${\displaystyle d(g_1,g_2)=d(\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)>)=\frac{1}{3}|\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)|=1}$.   Für ${\displaystyle E=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)>}$ und ${\displaystyle g=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right)>}$  berechnen wir zunächst   ${\displaystyle <\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right){>}^{\perp }=Ker\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 1& 1& 1\\ 3& 0& 1& 1\end{array}\right)=<\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ -3\end{array}\right)>}$. Damit ergibt sich für den Abstand von g zu E:   ${\displaystyle d(g,E)=d(\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+<\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right)>)=\frac{1}{\sqrt{11}}|\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ -3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)|=\frac{2}{\sqrt{11}}}$.

 

Bemerkung:    ${\displaystyle d(N,M)=d(M,N)}$.   ${\displaystyle <{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>\subset <{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>\Rightarrow d(N,M)=d(\mathit{b},M)}$.   ${\displaystyle d(N,M)=\min \{|\mathit{x}-\mathit{y}||\mathit{x}\in M\wedge \mathit{y}\in N\}}$.   ${\displaystyle d(N,M)=0\iff N\cap M\ne 0}$.   Beweis: Zu 1.:  Ist ${\displaystyle <{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>={ℝ}^m}$, so ist auch ${\displaystyle <{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l,{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>={ℝ}^m}$. In diesem Fall hat man:   ${\displaystyle d(N,M)=d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)=0=d(\mathit{a},\mathit{b}+<{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l,{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>)=d(M,N)}$.   Also darf man ${\displaystyle k+l<m}$ annehmen. Falls ${\displaystyle k+l=0}$, ist ${\displaystyle M=\{\mathit{a}\}}$ und ${\displaystyle N=\{\mathit{b}\}}$, d.h.   ${\displaystyle d(N,M)=d(\mathit{b},\{\mathit{a}\})=|\mathit{a}-\mathit{b}|=|\mathit{b}-\mathit{a}|=d(\mathit{a},\{\mathit{b}\})=d(M,N)}$.   In der verbleibenden Situation ${\displaystyle 0<k+l<m}$ stehen uns Normalenvektoren ${\displaystyle {\mathit{n}}_{k+l+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ von ${\displaystyle \mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>}$ zur Verfügung. ${\displaystyle {\mathit{n}}_{k+l+1},\dots ,{\mathit{n}}_m}$ sind aber auch Normalenvektoren von ${\displaystyle \mathit{b}+<{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l,{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$, so dass man die folgende Rechnung durchführen kann:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}d(N,M)\hfill & =d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)\hfill \\ \hfill & =\sqrt{{({\mathit{n}}_{k+l+1}·(\mathit{a}-\mathit{b}))}^2+\dots +{({\mathit{n}}_m·(\mathit{a}-\mathit{b}))}^2}\hfill \\ \hfill & =\sqrt{{({\mathit{n}}_{k+l+1}·(\mathit{b}-\mathit{a}))}^2+\dots +{({\mathit{n}}_m·(\mathit{b}-\mathit{a}))}^2}\hfill \\ \hfill & =d(\mathit{a},\mathit{b}+<{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l,{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>)\hfill \\ \hfill & =d(M,N).\hfill \end{array}}$   Zu 2.:  Aus ${\displaystyle <{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>\subset <{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$ erhält man sofort ${\displaystyle <{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>=<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>}$, und damit:   ${\displaystyle d(N,M)=d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)=d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k>)=d(\mathit{b},M)}$.   Zu 3.:  Zunächst hat man nach 5. und 4. in der ersten Bemerkung für jedes  ${\displaystyle \mathit{y}\in N}$:   ${\displaystyle \min \{|\mathit{x}-\mathit{y}||\mathit{x}\in M\}=d(\mathit{y},M)\ge d(\mathit{y},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)=d(N,M)}$, und damit auch   ${\displaystyle \min \{|\mathit{x}-\mathit{y}||\mathit{x}\in M\wedge \mathit{y}\in N\}=\min \{\min \{|\mathit{x}-\mathit{y}||\mathit{x}\in M\}|\mathit{y}\in N\}\ge d(N,M)}$.   Es reicht also wieder zu zeigen, dass ${\displaystyle d(N,M)}$ unter den Zahlen ${\displaystyle |\mathit{x}-\mathit{y}|}$ vorkommt. Auch hier hilft 5. aus der obigen Bemerkung weiter: Man findet nämlich einen Vektor ${\displaystyle \mathit{a}+\mathit{w}+\mathit{v}\in \mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>}$, so dass   ${\displaystyle d(N,M)=d(\mathit{b},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)=|\mathit{a}+\mathit{w}+\mathit{v}-\mathit{b}|=|\mathit{a}+\mathit{w}-(\mathit{b}-\mathit{v})|}$. Die Informationen ${\displaystyle \mathit{a}+\mathit{w}\in M}$ und ${\displaystyle \mathit{b}-\mathit{v}\in N}$ schließen den Beweis ab. Zu 4.:  "${\displaystyle \Rightarrow }$":  Nach 3. gibt es ein ${\displaystyle \mathit{x}\in M}$ und ein ${\displaystyle \mathit{y}\in N}$, so dass   ${\displaystyle 0=d(N,M)=|\mathit{x}-\mathit{y}|}$. Das bedeutet aber: ${\displaystyle \mathit{x}=\mathit{y}}$, und damit: ${\displaystyle N\cap M\ne \varnothing }$. "${\displaystyle \Leftarrow }$":  Ist ${\displaystyle N\cap M\ne \varnothing }$, so darf man für M und N denselben Aufpunkt wählen. Sei daher o.E. ${\displaystyle \mathit{a}=\mathit{b}}$. Folgt:   ${\displaystyle d(N,M)=d(\mathit{a},\mathit{a}+<{\mathit{w}}_1,\dots ,{\mathit{w}}_k,{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_l>)=0}$.

Aus 4. ergeben sich einige einfache Folgerungen:
 

Folgerung:  ${\displaystyle N\subset M\Rightarrow d(N,M)=0}$.   ${\displaystyle d(M,M)=0}$.   ${\displaystyle d({ℝ}^m,M)=0}$.

9.16