Beweis einiger Eigenschaften der Transformationsabbildung


Zu 1. müssen wir zeigen: Die Koordinaten des Nullvektors in R n sind die richtigen Koeffizienten zur Darstellung des Nullvektors in V. Dies ist aber offensichtlich der Fall:
 

0v1 + ... + 0vn = 0.

Zu 2. ist nachzuweisen: Die Koordinaten des Vektors ei in R n sind die richtigen Koeffizienten zur Darstellung des vi in V:
 

0v1 + ... + 1vi + ... + 0vn = vi.

Zu 3. und 4.:  Sei a = und b = , also:
 

a1v1 + ... + anvn = x   und   b1v1 + ... + bnvn = y.

Folgt:  (a1 + b1)v1 + ... + ( an + bn)vn = a1v1 + ... + anvn + b1v1 + ... + bnvn = x + y.  D.h. aber:
 
a + b = .

Ferner:  ta1v1 + ... + tanvn = t(a1v1 + ... + anvn) = tx, und damit:
 
.

Zu 5.:  Wir setzen für a ÎR n (a) := a1v1 + ... + anvn. Die Abbildung
 

: R n ® V

erfüllt trivialerweise die Gleichungen
 
 =  XV   und   =  XR n.

besitzt also eine inverse Funktion und ist somit umkehrbar.

Zu 6.:  Nach 5. ist insbesondere injektiv, das Argument

steht also zur Verfügung. Man hat daher:

v Î < x1,..., xk >
  Û    v = a1x1 + ... + akxk  für geeignete ai
  Û      =    für geeignete ai
=  
  Û    .

Zu 7:  Es reicht, die analoge Aussage für die lineare Abhängigkeit nachzuweisen. Mit 6. hat man:

x1,..., xk  linear abhängig
Û    xi Î < x1,..., xi - 1, xi + 1,..., xk > für ein i
Û   
Û    linear abhängig.

 

Zu 8.:  Wir zeigen zunächst:
 

.

Beweis:
a Î  
Û   a =      für geeignete ai
=   
Û   a Î   .

Ferner garantiert die Surjektivität der Transformationsabbildung die Gleichheit  = R n. Wir können also die folgende Äquivalenz notieren:
 

x1,..., xk  maximal in V
  Û    < x1,..., xk > = V
  Û   
  Û     = R n  
  Û    maximal in R n

9. ergibt sich direkt aus 7. und 8.