Zu 1. müssen wir zeigen: Die Koordinaten des Nullvektors in R n
sind die richtigen Koeffizienten zur Darstellung des Nullvektors in V.
Dies ist aber offensichtlich der Fall:
Zu 2. ist nachzuweisen: Die Koordinaten des Vektors ei
in R n
sind die richtigen Koeffizienten zur Darstellung des vi in V:
Zu 3. und 4.: Sei a =
und b
= , also:
Zu 5.: Wir setzen für a
ÎR n
: (a) :=
a1v1 + ... + anvn.
Die Abbildung
Zu 6.: Nach 5. ist insbesondere injektiv, das Argument
v Î < x1,..., xk > | ||
Û | v = a1x1 + ... + akxk für geeignete ai | |
Û | = für geeignete ai | |
= | ||
Û | . |
Zu 7: Es reicht, die analoge Aussage für die lineare Abhängigkeit nachzuweisen. Mit 6. hat man:
x1,..., xk linear abhängig | |
Û | xi Î < x1,..., xi - 1, xi + 1,..., xk > für ein i |
Û | |
Û | linear abhängig. |
Zu 8.: Wir zeigen zunächst:
a Î | |
Û a = | für geeignete ai |
= | |
Û a Î | . |
Ferner garantiert die Surjektivität der Transformationsabbildung die Gleichheit = R n. Wir können also die folgende Äquivalenz notieren:
x1,..., xk maximal in V | |
Û | < x1,..., xk > = V |
Û | |
Û | = R n |
Û | maximal in R n |
9. ergibt sich direkt aus 7. und 8.