9.5. Endliche Vektorräume

Die beiden Eigenschaften "linear unabhängig" und "maximal" stehen in keinerlei Beziehung zu einander. So ist z.B. in ${\displaystyle {ℝ}^2}$:

• ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2}$ linear unabhängig und maximal
• ${\displaystyle {\mathit{e}}_1}$ linear unabhängig und nicht maximal
• ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2\mathbf{,0}}$ linear abhängig und maximal
• 0  linear abhängig und nicht maximal

Wir interessieren uns nun für Sequenzen, die beide Eigenschaften gleichzeitig aufweisen. Sie stellen ein grundlegendes Konzept der Linearen Algebra dar.
 

Definition:  Es sei V ein Vektorraum. Eine Sequenz ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ von Vektoren aus V heißt eine (endliche) Basis von V, falls sie linear unabhängig und maximal ist. Der Vektorraum V heißt endlich, falls V eine (endliche) Basis besitzt.

Beachte:

• Ist ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ eine Basis von V, so ist auch jede Umsortierung eine Basis, denn die Reihenfolge spielt bei der  Maximalität  und bei der linearen Unabhängigkeit keine Rolle. Allerdings ist die neue Sequenz dann auch eine neue Basis! So sind z.B. ${\displaystyle v_1,v_2,\dots ,v_k}$ und ${\displaystyle v_2,v_1,\dots ,v_k}$ zwei verschiedene Basen.
   
• Die Formulierung endliche Basis ist in diesem Abschnitt ohne Bedeutung. Sie dient lediglich zur Abgrenzung eines im nächsten Abschnitt einzuführenden verallgemeinerten Basisbegriffs.

Durch die beiden vorangegangenen Abschnitte liegen bereits viele Beispiele und Ergebnisse zu Basen vor. Wir tragen zunächst die wichtigsten zusammen.
 

Beispiel: ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n}$ ist eine Basis des ${\displaystyle {ℝ}^n}$, die Standardbasis (oder: kanonische Basis) des ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Insbesondere also ist ${\displaystyle {ℝ}^n}$ ein endlicher Vektorraum.   ${\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{X},\dots ,{\mathrm{X}}^n}$ ist eine Basis, die Standardbasis des ${\displaystyle {\mathbb{P}}^n}$. Also ist ${\displaystyle {\mathbb{P}}^n}$ ein endlicher Vektorraum.   ${\displaystyle \mathbb{P}}$ ist kein endlicher Vektorraum, denn ${\displaystyle \mathbb{P}}$ lässt keine maximalen Sequenzen zu, also auch keine Basen.   ${\displaystyle \varnothing }$ ist Basis von${\displaystyle V\iff V=\left\{\mathbf{0}\right\}}$. Der Nullraum ist also ein endlicher Vektorraum mit ${\displaystyle \varnothing }$ als einziger Basis.

Die Rolle der leeren Sequenz, bzw. des Nullraums ist in 4. geklärt. Im Weiteren sei daher stets ${\displaystyle V\ne \left\{\mathbf{0}\right\}}$ vorausgesetzt. Direkt übertragen lassen sich auch die folgenden Eigenschaften:

Mit dieser Bemerkung lassen sich also, wie bei der Maximalität und der linearen Unabhängigkeit auch, Basisnachweise durch Zurückführen auf Referenzsequenzen durchführen. So ist z.B. ${\displaystyle {\mathrm{X}}^2,{\mathrm{X}}^2+\mathrm{X},\mathrm{X}+3}$ auf Grund der folgenden Äquivalenzen eine Basis von ${\displaystyle {\mathbb{P}}^2}$:

In einigen speziellen Situationen kann man bei einem Basistest auf die Überprüfung der Maximalität verzichten:
 

Bemerkung:  In jedem Vektorraum V gilt: ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ ist Basis von ${\displaystyle <v_1,\dots ,v_k>\iff v_1,\dots ,v_k}$ ist linear unabhängig.   In ${\displaystyle {ℝ}^n}$ gilt: ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n}$ ist Basis des ${\displaystyle {ℝ}^n\iff {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n}$ ist linear unabhängig.    Beweis: Zu 1.:  Es ist nur zu beachten, dass ${\displaystyle v_1,\dots ,v_k}$ stets maximal in${\displaystyle <v_1,\dots ,v_k>}$ ist. Zu 2.:  Diese Richtung "${\displaystyle \Rightarrow }$" ist klar! "${\displaystyle \Leftarrow }$": Wir gehen indirekt vor. Angenommen ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n}$ ist keine Basis, d.h. gemäß Voraussetzung: ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n}$ ist nicht maximal, es gibt also ein ${\displaystyle \mathit{x}\in {ℝ}^n}$, so dass ${\displaystyle \mathit{x}\notin <{\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n>}$. Mit ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n}$ ist nach einem Ergebnis in Teil 3 dann aber auch ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_n,\mathit{x}}$ linear unabhängig, d.h. also: es gibt in ${\displaystyle {ℝ}^n}$ eine linear unabhängige Sequenz der Länge ${\displaystyle n+1}$ ! - Widerspruch.

Auch die folgende Bemerkung ist i.w. eine Übertragung bereits gesicherter Erkenntnisse. Mit ihr lassen sich in ${\displaystyle {ℝ}^n}$ sehr leicht "zu lange" und "zu kurze" Sequenzen als Basen ausschließen. Die eigentliche Bedeutung dieser Aussage liegt aber in dem genannten Zusatz; er bereitet nämlich bereits die Einführung des Dimensionsbegriffs vor.
 

Bemerkung:  Für alle ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_k\in {ℝ}^n}$ gilt: ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_k}$ Basis des ${\displaystyle {ℝ}^n\iff k=n}$. Alle Basen des ${\displaystyle {ℝ}^n}$ haben somit n Elemente, insbesondere also stets gleich viele! Beweis:  Da ${\displaystyle {\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_k}$ sowohl linear unabhängig als auch maximal in ${\displaystyle {ℝ}^n}$ ist, hat man ${\displaystyle k\le n}$ und ${\displaystyle k\ge n}$, also ${\displaystyle k=n}$.

Die besondere Bedeutung die den Basen eines Vektorraums zukommt liegt u.a. an folgendem Verhalten:
 

Bemerkung und Bezeichnung:  Es sei ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ eine Basis von V. Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle x\in V}$ genau einen Vektor ${\displaystyle \mathit{\alpha }\in {ℝ}^n}$, so dass ${\displaystyle x={\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_n{v}_n}$. ${\displaystyle \mathit{\alpha }}$ heißt der zu x gehörige Koordinatenvektor bzgl. der Basis ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$. Beweis: ${\displaystyle x\in V}$ gegeben. Da ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ maximal ist, gibt es wenigstens ein ${\displaystyle \mathit{\alpha }}$ der genannten Art. Angenommen x besitzt eine zweite Darstellung ${\displaystyle x={{\alpha }^{\prime }}_1{v}_1+\dots +{{\alpha }^{\prime }}_n{v}_n}$, mit einem von ${\displaystyle \mathit{\alpha }}$ verschiedenen Vektor ${\displaystyle {\mathit{\alpha }}^{\prime }}$. Insbesondere ist dann   ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & {\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_n{v}_n={{\alpha }^{\prime }}_1{v}_1+\dots +{{\alpha }^{\prime }}_n{v}_n\hfill \\ \Rightarrow \hfill & ({\alpha }_1-{{\alpha }^{\prime }}_1)v_1+\dots +({\alpha }_n-{{\alpha }^{\prime }}_n)v_n=\mathbf{0}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & {\alpha }_1-{{\alpha }^{\prime }}_1=\dots ={\alpha }_n-{{\alpha }^{\prime }}_n=0\text{, da }{v}_1,\dots ,v_n\text{ linear unabhängig}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & \mathit{\alpha }={\mathit{\alpha }}^{\prime }\text{ - Widerspruch.}\hfill \end{array}}$

Wir üben den neuen Begriff an einigen Beispielen. Man beachte dabei, dass ein ${\displaystyle \mathit{\alpha }}$ bereits dann der Koordinatenvektor zu x bzgl. ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ ist, wenn die Gleichung ${\displaystyle x={\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_n{v}_n}$ gültig ist.
 

Beispiel: ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)}$ ist eine Basis von ${\displaystyle {ℝ}^2}$. ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right)}$ ist der Koordinatenvektor von ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)}$, denn ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)}$. ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}$ ist der Koordinatenvektor von ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}$, denn ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)}$. ${\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{X},{\mathrm{X}}^2}$ ist eine Basis von ${\displaystyle {\mathbb{P}}^2}$. ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 3\end{array}\right)}$ ist der Koordinatenvektor von ${\displaystyle -2+7\mathrm{X}+3{\mathrm{X}}^2}$. Allgemein gilt für die Basis ${\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{X},\dots ,{\mathrm{X}}^n}$ des ${\displaystyle {\mathbb{P}}^n}$: ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\alpha }_0\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)}$ ist der Koordinatenvektor von ${\displaystyle {\alpha }_0+{\alpha }_1\mathrm{X}+\dots +{\alpha }_n{\mathrm{X}}^n}$. Die Standardbasis des ${\displaystyle {ℝ}^n}$, ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n}$, spielt eine Sonderrolle: Jedes ${\displaystyle \mathit{x}\in {ℝ}^n}$ ist sein eigener Koordinatenvektor, denn:   ${\displaystyle \mathit{x}=x_1{\mathit{e}}_1+\dots +x_n{\mathit{e}}_n}$.

Wir untersuchen nun das Zusammenspiel zwischen den Vektoren ${\displaystyle x\in V}$ und ihren Koordinatenvektoren ${\displaystyle \mathit{\alpha }\in {ℝ}^n}$ genauer: Schreibt man ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(x)}$ statt ${\displaystyle \mathit{\alpha }}$, so ist 

Die Koordinatentransformationen endlicher Vektorräume stellen eine so enge Vebindung zu den Räumen${\displaystyle {ℝ}^n}$ her, dass man jeden endlichen Vektorraum letztendlich als Kopie eines passenden ${\displaystyle {ℝ}^n}$ auffassen kann. Insbesondere wird man alle Eigenschaften des ${\displaystyle {ℝ}^n}$ in entsprechender Form wiederfinden. Die folgende Bemerkung führt diese Überlegungen detailiert aus.
 

Bemerkung:  Es sei V ein endlicher Vektorraum mit ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ als ausgewählter Basis und ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}}$ als zugehöriger Koordinatentransformation. Dann gilt: ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(\mathbf{0})=\mathbf{0}}$. ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(v_i)={\mathit{e}}_i}$. ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(x+y)=T_{v_1,\dots ,v_n}(x)+T_{v_1,\dots ,v_n}(y)}$. ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(\tau x)=\tau T_{v_1,\dots ,v_n}(x)}$. ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}}$ ist bijektiv. ${\displaystyle v\in <x_1,\dots ,x_k>\iff T_{v_1,\dots ,v_n}(v)\in <T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k)>}$. ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k\text{ linear unabhängig}\iff T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k)\text{ linear unabhängig}}$. ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k\text{ maximal in }V\iff T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k) \text{maximal in }{ℝ}^n}$. ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k\text{ Basis von }V\iff T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k)\text{ Basis von }{ℝ}^n}$. Wir führen den recht umfangreichen Beweis auf einer eigenen Seite.

Bei endlichen Vektorräumen ist Anzahl der Basiselemente eine Konstante; sie charaktersiert die Struktur des Raumes:
 

Bemerkung und Bezeichnung:  Es sei V ein endlicher Vektorraum mit ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ als ausgewählter Basis. Dann hat jede andere Basis von V ebenfalls n Elemente. Die Zahl n heißt Dimension von V (in Zeichen: ${\displaystyle n=\dim V}$). Wir setzen zusätzlich: ${\displaystyle \dim \left\{\mathbf{0}\right\}=0}$. Beweis: Ist ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ eine weitere Basis von V, so ist ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k)}$ eine Basis von ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Folgt: ${\displaystyle k=n}$.

Um also die Dimension eines endlichen Vektorraums zu ermitteln, reicht es eine Basis zu finden und deren Elemente zu zählen!
 

Beispiel: ${\displaystyle \dim {ℝ}^n=n}$. ${\displaystyle \dim {\mathbb{P}}^n=n+1}$. ${\displaystyle \dim <v_1,\dots ,v_k>\le k}$. ${\displaystyle \dim <v_1,\dots ,v_k>=k\iff v_1,\dots ,v_k}$ linear unabhängig.

Mit Hilfe der Koordinatentransformationen lassen sich nun alle spezifischen Ergebnisse des ${\displaystyle {ℝ}^n}$ auf einen beliebigen endlichen Vektorraum übertragen:
 

Bemerkung:  Es sei V ein endlicher Vektorraum der Dimension n. Dann gilt: ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ linear unabhängig${\displaystyle \Rightarrow k\le n}$. ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ maximal${\displaystyle \Rightarrow k\ge n}$. ${\displaystyle x_1,\dots ,x_n}$ Basis${\displaystyle \iff x_1,\dots ,x_n}$ linear unabhängig. Beweis: Sei ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ eine Basis und ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}}$ die zugehörige Transformation. Dann hat man: Zu 1.:  ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k)}$ linear unabhängig in ${\displaystyle {ℝ}^n\Rightarrow k\le n}$. Zu 2.:  ${\displaystyle T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_k)}$ maximal in ${\displaystyle {ℝ}^n\Rightarrow k\ge n}$. Zu 3.:  ${\displaystyle \begin{array}{ll}{x}_1,\dots ,x_n\text{ Basis von }V\hfill & \iff T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_n)\text{ Basis von }{ℝ}^n\hfill \\ \hfill & \iff T_{v_1,\dots ,v_n}(x_1),\dots ,T_{v_1,\dots ,v_n}(x_n)\text{ linear unabhängig}\hfill \\ \hfill & \iff x_1,\dots ,x_n\text{ linear unabhängig.}\hfill \end{array}}$

Für theoretische Überlegungen ist es oft notwendig, Basen eines bestimmten Zuschnitts zu haben. So erlaubt es z.B. der folgende Satz, eine beliebige Sequenz linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis aufzustocken, wobei sogar eine Vorauswahl der hinzuzufügenden Vektoren möglich ist.
 

Satz (Basisergänzungssatz):  Es sei V ein endlicher Vektorraum und ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ eine vorgewählte Basis von V. Ist ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ eine linear unabhängige Sequenz von Vektoren aus V, so gibt es Basisvektoren ${\displaystyle {v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_{n-k}\in \{v_1,\dots ,v_n\}}$ derart, dass ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_{n-k}}$ eine Basis von V ist. Beweis: Ist ${\displaystyle k=n}$, so ist nichts zu zeigen, denn dann ist ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ bereits eine Basis, die durch Hinzunahme von 0 Vektoren aus ${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_n\}}$ entstanden ist. Sei also ${\displaystyle k<n}$.  Wir zeigen zunächst: Es gibt einen Vektor ${\displaystyle v_i\in \{v_1,\dots ,v_n\}}$, so dass ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,v_i}$ linear unabhängig ist. Da ${\displaystyle k<n}$, ist ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ nicht maximal, es gibt also ein ${\displaystyle x\in V}$, so dass ${\displaystyle x\notin <x_1,\dots ,x_k>}$ ist. Nun ist aber ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ eine Basis; für geeignete ${\displaystyle {\alpha }_i}$ hat man also: ${\displaystyle x={\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_n{v}_n}$. Wären nun alle Basisvektoren ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ Elemente von ${\displaystyle <x_1,\dots ,x_k>}$, so hätte man auch: ${\displaystyle x={\alpha }_1{v}_1+\dots +{\alpha }_n{v}_n\in <x_1,\dots ,x_k>}$. Also muss es ein ${\displaystyle v_i\in \{v_1,\dots ,v_n\}}$ geben, so dass ${\displaystyle v_i\notin <x_1,\dots ,x_k>}$. Damit aber, so haben wir in Teil 3 gezeigt, ist ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,v_i}$ linear unabhängig. Nun zum eigentlichen Beweis. Wir betrachten das System aller linear unabhängigen Erweiterungen von ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k}$ mit Elementen aus ${\displaystyle \{v_1,\dots ,v_n\}}$:   ${\displaystyle \mathit{B}=\{x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_j|{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_j\in \{v_1,\dots ,v_n\}\wedge x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_j\text{ ist linear unabhängig}\}}$ ${\displaystyle \mathit{B}\ne \varnothing }$, denn z.B. ist ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k\in \mathit{B}}$. Da ${\displaystyle \mathit{B}}$ endlich ist, können wir in ${\displaystyle \mathit{B}}$ eine Sequenz ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_j}$ mit maximaler Länge auswählen. Diese Sequenz ist linear unabhängig, also muss ${\displaystyle k+j\le n}$ sein. Wäre nun ${\displaystyle k+j<n}$, so gäbe es nach dem zuvor Bewiesenen ein ${\displaystyle v_i\in \{v_1,\dots ,v_n\}}$, so dass ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_j,v_i}$ linear unabhängig ist, im Widerspruch zur maximalen Länge von ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_j}$. Also ist ${\displaystyle k+j=n}$, d.h.${\displaystyle j=n-k}$, so dass ${\displaystyle x_1,\dots ,x_k,{v^{\prime }}_1,\dots ,{v^{\prime }}_{n-k}}$ eine Basis von V ist.

Der folgende Satz stellte i.w. nur eine andere Formulierung des Basisergänzungssatzes dar:
 

Satz (Steinitzscher Austauschsatz):  Es sei V ein endlicher Vektorraum. Sind ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ und ${\displaystyle w_1,\dots ,w_n}$ zwei Basen von V, so lassen sich beliebige Vektoren aus ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ durch geeignete Vektoren aus ${\displaystyle w_1,\dots ,w_n}$ ersetzen, ohne dass die Basiseigenschaft verloren geht. Beweis: Streicht man in ${\displaystyle v_1,\dots ,v_n}$ k ausgewählte Vektoren, so ist die verbleibende Sequenz linear unabhängig und damit nach dem Basisergänzungssatz durch k Vektoren aus ${\displaystyle w_1,\dots ,w_n}$ zu einer Basis zu ergänzen.

9.4

9.6.