9.14. Der Rieszsche Darstellungssatz

Das Skalarprodukt eines euklidischen Vektorraums ist in jeder Koordinate linear; dies lässt sich auch so beschreiben: Für jedes ${\displaystyle w\in V}$ ist die Funktion
 

In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass den Linearformen des Typs ${\displaystyle S_w}$ eine besondere Bedeutung zukommt: 

• Im ${\displaystyle {ℝ}^n}$, und damit in jedem endlichen Vektorraum, sind mit ihnen bereits alle Linearformen erfasst.
   
• In vollständigen euklidischen Vektorräumen läßt sich jede beschränkte Linearform durch eine Form des Typs ${\displaystyle S_w}$ darstellen.
   

Wir beginnen mit einer Eindeutigkeitsüberlegung.

Nun zur ersten Aussage über die Linearformen des ${\displaystyle {ℝ}^n}$:
 

Bemerkung:  Zu jeder Linearform ${\displaystyle f\in {ℝ}^n\text{'}}$ gibt es genau ein ${\displaystyle \mathit{w}\in {ℝ}^n}$, so dass ${\displaystyle f=S_{\mathit{w}}}$. Beweis: Die Eindeutigkeit ist bereits in der Vorüberlegung nachgewiesen. Es ist also nur noch ein geeignetes ${\displaystyle \mathit{w}\in {ℝ}^n}$ zu konstruieren. Setzt man nun   ${\displaystyle w_i=f({\mathit{e}}_i)}$, so hat man für jedes ${\displaystyle \mathit{x}\in {ℝ}^n}$: ${\displaystyle f(\mathit{x})=\sum _{i=1}^n{x}_{i}f({\mathit{e}}_i)=\sum _{i=1}^n{x}_i{w}_i=\mathit{x}·\mathit{w}=S_{\mathit{w}}(\mathit{x})}$.

 
Wie bereits angedeutet ist eine Übertragung dieses Ergebnisses auf beliebige euklidische Vektorräume nur eingeschränkt möglich: Die Vektorräume müssen eine bestimmte "topologische" Qualität besitzen und auch nicht jede Linearform lässt sich in der Form ${\displaystyle S_w}$ notieren. Die genauen Verhältnisse beschreibt der Rieszsche Darstellungssatz.

Wir benötigen zunächst eine technische Vorübereitung:
 

Bemerkung:  Es sei V ein euklidischer Vektorraum,  x und w zwei feste Vektoren aus V, ${\displaystyle w\ne \mathbf{0}}$. Dann sind die Abbildungen ${\displaystyle \phi ,\psi :ℝ\to ℝ}$, gegeben durch   ${\displaystyle \begin{array}{l}\phi (\alpha )=\left|w-\alpha x\right|\hfill \\ \psi (\alpha )=\left|w+\alpha x\right|\hfill \end{array}}$ differenzierbar in 0. Dabei ist ${\displaystyle \phi \text{'}(0)=-w°\ast x}$ und ${\displaystyle \psi \text{'}(0)=w°\ast x}$. Beweis: Wir führen den Beweis (nur) für die Funktion ${\displaystyle \phi }$ und setzen dazu die Differenzenquotientenfunktion an: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\frac{\phi (\alpha )-\phi (0)}{\alpha }\hfill & =\frac{\left|w-\alpha x\right|-\left|w\right|}{\alpha }\hfill \\ \hfill & =\frac{(\left|w-\alpha x\right|-\left|w\right|)(\left|w-\alpha x\right|+\left|w\right|)}{\alpha (\left|w-\alpha x\right|+\left|w\right|)}\hfill \\ \hfill & =\frac{{\left|w-\alpha x\right|}^2-{\left|w\right|}^2}{\alpha (\left|w-\alpha x\right|+\left|w\right|)}\hfill \\ \hfill & =\frac{{\left|w\right|}^2-2\alpha w\ast x+{\alpha }^2{\left|x\right|}^2-{\left|w\right|}^2}{\alpha (\left|w-\alpha x\right|+\left|w\right|)}\hfill \\ \hfill & =\frac{-2w\ast x+\alpha {\left|x\right|}^2}{\left|w-\alpha x\right|+\left|w\right|}.\hfill \end{array}}$ Dieser Quotient besitzt einen Grenzwert für ${\displaystyle \alpha \to 0}$, und zwar: ${\displaystyle \phi \text{'}(0)=\frac{-2w\ast x}{\left|w\right|+\left|w\right|}=-\frac{w}{\left|w\right|}\ast x=-w°\ast x}$.

 

Satz (Rieszscher Darstellungssatz):  Es sei V ein vollständiger euklidischer Vektorraum. Ist ${\displaystyle f\in V\text{'}}$ eine beschränkte Linearform, d.h. gibt es ein ${\displaystyle c\in ℝ}$, so dass   ${\displaystyle \left|f(v)\right|\le c\left|v\right|}$  für alle ${\displaystyle v\in V}$, so gibt es genau ein ${\displaystyle w\in V}$, so dass ${\displaystyle f=S_w}$. Beweis: Da die Eindeutigkeit bereits gegeben ist, reicht es wieder, ein geeignetes w zu konstruieren. Wir betrachten dazu zunächst die Menge ${\displaystyle M=\{\left|f(x)\right||\left|x\right|=1\}\subset ℝ}$. Nach Voraussetzung ist dies eine nicht-leere Teilmenge von ${\displaystyle [\mathrm{0,}c]}$. M besitzt also gemäß Vollständigkeitsaxiom ein Supremum:   ${\displaystyle s=\sup M\in [\mathrm{0,}c]}$. Die vorgegebene Abschätzung ${\displaystyle \left|f(v)\right|\le c\left|v\right|}$ lässt sich - wegen ${\displaystyle \left|f(v)\right|=\left|f(\left|v\right|v°)\right|=\left|v\right|\left|f(v°)\right|}$ - verschärfen zu:   ${\displaystyle \left|f(v)\right|\le s\left|v\right|}$. Falls nun ${\displaystyle s=0}$, ist auch ${\displaystyle f=0}$. In diesem Fall ist offensichtlich ${\displaystyle f=S_{\mathbf{0}}}$. Wir nehmen daher ${\displaystyle s>0}$ an und zeigen nun der Reihe nach: Es gibt ein ${\displaystyle w\in V}$, mit ${\displaystyle \left|w\right|=1}$ und ${\displaystyle f(w)=s}$.   ${\displaystyle f=S_{sw}}$. Zu 1.:  Da s das Supremum von M ist, gibt es eine Folge ${\displaystyle (\left|f(w_n)\right|)}$ in M, die gegen s konvergiert. Das bedeutet es gibt eine Folge ${\displaystyle (w_n)}$ in V mit ${\displaystyle \left|w_n\right|=\mathrm{1,}\left|f(w_n)\right|\le s}$ und ${\displaystyle \left|f(w_n)\right|\to s}$. Dabei dürfen wir o.E. annehmen, dass ${\displaystyle f(w_n)\ge 0}$, also ${\displaystyle f(w_n)\le s}$ und ${\displaystyle f(w_n)\to s}$, denn ist für ein n der Wert ${\displaystyle f(w_n)<0}$, so kann man ${\displaystyle w_n}$ durch ${\displaystyle -w_n}$ ersetzen.Wir zeigen jetzt:  ${\displaystyle (w_n)}$ ist eine Cauchy-Folge.  Sei dazu ${\displaystyle \epsilon >0}$ vorgegeben, o.E. ${\displaystyle \epsilon <8}$. Zunächst gibt es ein ${\displaystyle n_0}$, so dass ${\displaystyle f(w_n)\ge s-\frac{s\epsilon }{8}=s(1-\frac{\epsilon }{8})}$ für alle ${\displaystyle n\ge n_0}$. Also hat man  für alle ${\displaystyle n,m\ge n_0}$: ${\displaystyle f(w_n+w_m)=f(w_n)+f(w_m)\ge 2s(1-\frac{\epsilon }{8})}$. Das Parallelogramm-Gesetz erlaubt nun die folgende Abschätzung:   ${\displaystyle \begin{array}{ll}{\left|w_n-w_m\right|}^2\hfill & =2{\left|w_n\right|}^2+2{\left|w_m\right|}^2-{\left|w_n+w_m\right|}^2\hfill \\ \hfill & \le 4-\frac{1}{s^2}{(f(w_n+w_m))}^2\hfill \\ \hfill & \le 4-\frac{4s^2}{s^2}{(1-\frac{\epsilon }{8})}^2\hfill \\ \hfill & =4-4+\epsilon -\frac{{\epsilon }^2}{16}<\epsilon .\hfill \end{array}}$ Als Cauchy-Folge ist ${\displaystyle (w_n)}$ konvergent (V ist vollständig!), etwa ${\displaystyle w_n\to w}$. Man hat: ${\displaystyle \left|w\right|=1}$, denn aus der Abschätzung ${\displaystyle \left|w_n-w\right|<\epsilon }$ gewinnt man über die zweite Dreiecksungleichung   ${\displaystyle 1-\epsilon =\left|w_n\right|-\epsilon <\left|w\right|<\left|w_n\right|+\epsilon =1+\epsilon }$, also: ${\displaystyle \left|\left|w\right|-1\right|<\epsilon }$  für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$.   ${\displaystyle f(w)=s}$. Dies folgt mit ${\displaystyle w_n\to w}$ und ${\displaystyle f(w_n)\to s}$ aus der Abschätzung:    ${\displaystyle \left|f(w)-s\right|\le \left|f(w)-f(w_n)\right|+\left|f(w_n)-s\right|=\left|f(w-w_n)\right|+\left|f(w_n)-s\right|\le s\left|w-w_n\right|+\left|f(w_n)-s\right|}$.   Zu 2.:  Wir zeigen jetzt für einen beliebigen, aber festen Vektor ${\displaystyle x\in V}$: ${\displaystyle f(x)=sw\ast x}$. Dazu entwickeln wir zunächst für ein ${\displaystyle \alpha >0}$ die folgende Abschätzung (beachte: ${\displaystyle \left|sw\right|=s=f(w)}$ !): ${\displaystyle \begin{array}{ll}-\frac{1}{\alpha }(\left|sw-\alpha x\right|-\left|sw\right|)\hfill & \le -\frac{1}{\alpha }(\frac{1}{s}\left|f(sw-\alpha x)\right|-f(w))\hfill \\ \hfill & \le -\frac{1}{\alpha }(\frac{1}{s}f(sw-\alpha x)-f(w))\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{s}f(x)\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{\alpha }(\frac{1}{s}f(sw+\alpha x)-f(w))\hfill \\ \hfill & \le \frac{1}{\alpha }(\frac{1}{s}s\left|sw+\alpha x\right|-\left|sw\right|).\hfill \end{array}}$ Also hat man insgesamt:   ${\displaystyle -\frac{\left|sw-\alpha x\right|-\left|sw\right|}{\alpha }\le \frac{1}{s}f(x)\le \frac{\left|sw+\alpha x\right|-\left|sw\right|}{\alpha }}$. Das Ableitungsverhalten der Funktionen ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle \psi }$ aus der Vorbemerkung liefert nun die gewünschte Gleichheit:   ${\displaystyle sw\ast x=s(sw)°\ast x=-s\phi \text{'}(0)\le f(x)\le s\psi \text{'}(0)=s(sw)°\ast x=sw\ast x}$.

9.13

9.15.