9.2. Untervektorräume und Erzeugnisse

9.2. Untervektorräume und Erzeugnisse

In einem Vektorraum (V, + , · ) ist der Menge V eine hochkomplexe algebraische Struktur unterlegt. Es ist daher nicht unbedingt zu erwarten, dass beliebige Teilmengen von V automatisch an dieser Struktur teilhaben. In diesem Abschnitt werden diejenigen Teilmengen von V charakterisiert und untersucht, die die Vektorraumstruktur von V übernehmen.

Definition: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum. Eine Teilmenge $U \subset V$ ; heißt ein Untervektorraum von V falls für alle $v, w \in U$ und $α \in ℝ$ gilt:

$0 \in U$ .

$v, w \in U \Rightarrow v + w \in U$ .

$v \in U \Rightarrow α \cdot v \in U$ .

Beachte:

Untervektorräume sind niemals leer.
Die Vektoraddition und die skalare Multiplikation sind auf U abgeschlossen.
Fehlt in U der Nullvektor 0, so ist U kein Untervektorraum (Die Umkehrung ist i.a. falsch!).

Die Wortwahl Untervektorraum erklärt sich aus der folgenden Bemerkung:

Bemerkung: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum und U eine Teilmenge von V. Dann gilt:

U ist Untervektorraum von V

\Leftrightarrow

(U, + , · ) ist ein Vektorraum.

Beweis:

" $\Rightarrow$ ":
Nach 2. und 3. in der Definition des Untervektorraums sind + und · auch Rechenoperationen auf U:

\begin{array}{l} + : U \times U \to U \\ \cdot : ℝ \times U \to U \end{array}

Nun müssen die Axiome (V1) bis (V8) nachgeprüft werden. Allerdings sind alle Rechenregeln, die + und · in V erfüllen, erst recht in U gültig, brauchen also nicht mehr bewiesen zu werden. Bis auf (V3) und (V4) sind alle Axiome durch dieses Argument abgedeckt!

(V3): Der Nullvektor $0 \in V$ verhält sich zu allen Vektoren aus V neutral, also erst recht zu allen aus U. Gemäß 1. ist aber $0 \in U$ , daher besitzt auch U ein neutrales Element, nämlich den Nullvektor aus V.

(V4): Ist $v \in U$ , so ist nach 3. auch $- v = (- 1) \cdot v \in U$ . $- v$ erfüllt die Inversengleichung in V, also auch in U. Jedes Element aus U besitzt daher ein inverses Element in U (und zwar dasselbe inverse Element, das es in V besitzt!).

" $\Leftarrow$ ":
Zu 1.: Ist (U, + , · ) ein Vektorraum, so ist per Definition

\begin{array}{l} + : U \times U \to U \\ \cdot : ℝ \times U \to U \end{array}

Dies sind aber genau die Bedingungen 2. und 3. Ferner besitzt U als Vektorraum ein neutrales Element $0' \in U$ , und da die Vektorsubtraktion auf U abgeschlossen ist, folgt daraus: $0 = 0' - 0' \in U$ .

Nach diesem Kriterium sind der Nullraum und der Vektorraum V selbst automatisch Untervektorräume von V:

Beispiel: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum, dann sind

${0} \subset V$
$V \subset V$

Untervektorräume von V.

Beispiel:

a. $U ≔ {(\begin{matrix} x \\ 3 x \end{matrix}) | x \in ℝ} \subset ℝ^{2}$ ist ein Untervektorraum, denn:

$0 = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \cdot 0 \end{matrix}) \in U$ .

$(\begin{matrix} x \\ 3 x \end{matrix}), (\begin{matrix} y \\ 3 y \end{matrix}) \in U \Rightarrow (\begin{matrix} x \\ 3 x \end{matrix}) + (\begin{matrix} y \\ 3 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + y \\ 3 (x + y) \end{matrix}) \in U$ .

$(\begin{matrix} x \\ 3 x \end{matrix}) \in U \Rightarrow α (\begin{matrix} x \\ 3 x \end{matrix}) = (\begin{matrix} α x \\ 3 (α x) \end{matrix}) \in U$ .

b. $U ≔ {(\begin{matrix} x + 1 \\ 3 x \end{matrix}) | x \in ℝ} \subset ℝ^{2}$ ist kein Untervektorraum, da der Nullvektor fehlt:

Gäbe es nämlich ein x, so dass $(\begin{matrix} x + 1 \\ 3 x \end{matrix}) = 0$ , also $x + 1 = 0 \land 3 x = 0$ , so wäre $x = - 1$ und $x = 0$ . Widerspruch.

$U ≔ {f \in 𝔽 (ℝ) | f (0) = 0} \subset 𝔽 (ℝ)$ ist ein Untervektorraum, denn:

$0 \in U$ , da 0(0) = 0.

$f, g \in U \Rightarrow f (0) = 0 \land g (0) = 0 \Rightarrow f + g (0) = 0 \Rightarrow f + g \in U$ .

$f \in U \Rightarrow f (0) = 0 \Rightarrow α f (0) = 0 \Rightarrow α f \in U$ .

$U ≔ {f \in 𝔽 (ℝ) | f (0) \geq 0} \subset 𝔽 (ℝ)$ ist kein Untervektorraum, denn die Eigenschaft 3 ist verletzt: So ist etwa $\cos \in U$ , aber $(- 1) \cdot \cos = - \cos$ nicht.

Fast alle klassischen Funktionenmengen der Analysis treten in der linearen Algebra als Untervektorräume auf! Die Eigenschaften 1 bis 3 sind dabei durch die jeweiligen Rechenregeln meistens schon erfüllt. Für ein Zusammenspiel zwischen linearer Algebra und Analysis sind also die folgenden Beispiele ein erstes Indiz.

Beispiel: Es sei

A \subset ℝ

. Die folgenden Mengen sind Untervektorräume des jeweils angegebenen Vektorraums:

a.	$C^{0} (A) \subset 𝔽 (ℝ)$	Die Menge der stetigen Funktionen auf A.
b.	$C^{n} (A) \subset 𝔽 (ℝ)$	Die Menge der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf A.
c.	$C^{\infty} (A) \subset 𝔽 (ℝ)$	Die Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf A.
d.	$I (A) \subset 𝔽 (ℝ)$	Die Menge der integrierbaren Funktionen auf A.
e.	$B (A) \subset 𝔽 (ℝ)$	Die Menge der beschränkten Funktionen auf A.
f.	$𝔽_{k o n v} (ℕ) \subset 𝔽 (ℕ)$	Die Menge der konvergenten Folgen.
g.	$𝔽_{0 - k o n v} (ℕ) \subset 𝔽 (ℕ)$	Die Menge der Nullfolgen.
h.	$ℙ \subset 𝔽 (ℝ)$	Die Menge aller Polynome über $ℝ$ .
i.	$ℙ^{n} \subset ℙ$	Die Menge aller Polynome vom Grad $\leq n$ , zuzüglich des Nullpolynoms 0.

Beweis: Wir zeigen nur e. (alle anderen Fälle sind durch die entsprechenden Rechenregeln bereits erledigt):

Die konstante Funktion 0 auf A ist beschränkt, also: $0 \in B (A)$ .
Sind $f_{1}, f_{2} \in B (A)$ , so gibt Zahlen c₁,c₂, so dass $| f_{i} (x) | \leq c_{i}$ für alle $x \in A$ . Mit der Dreiecksungleichung erhält man daher für alle $x \in A$ :

$| f_{1} (x) + f_{2} (x) | \leq | f_{1} (x) | + | f_{2} (x) | \leq c_{1} + c_{2}$ .

Also ist auch f₁ + f₂ beschränkt: $f_{1} + f_{2} \in B (A)$ .
Ist $f \in B (A)$ , etwa: $| f (x) | \leq c$ für alle $x \in A$ , so gilt für diese x ebenfalls:

$| α f (x) | = | α | | f (x) | \leq | α | c$ ,

also auch wieder: $α f \in B (A)$ .

Beachte:

Das Beispiel g. läßt sich nicht auf beliebige konvergente Folgen übertragen. Ist nämlich $g \neq 0$ , so fehlt in $𝔽_{g - k o n v} (ℕ)$ , der Menge aller gegen g konvergenten Folgen, der Nullvektor (0).

Der Unterraumbegriff verträgt sich nur schlecht mit den Mengenoperationen. Lediglich die Schnittbildung führt nicht aus der Klasse der Untervektorräume von V hinaus. Für spätere Anwendungen ist dies allerdings eine wichtige Eigenschaft.

Bemerkung: Sind $U \subset V$ und $W \subset V$ Untervektorräume von V, so ist auch $U \cap W$ ein Untervektorraum von V.
Beweis:

Man hat: $0 \in U$ und $0 \in W$ , also ist auch $0 \in U \cap W$ .

$v, w \in U \cap W \Rightarrow v, w \in U \land v, w \in W \Rightarrow v + w \in U \land v + w \in W \Rightarrow v + w \in U \cap W$ .

$v \in U \cap W \Rightarrow v \in U \land v \in W \Rightarrow α v \in U \land α v \in W \Rightarrow α v \in U \cap W$ .

Reelle Vektorräume sind, abgesehen vom Nullraum, stets unendliche Mengen. Für endlich viele Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k}$ aus V ist daher die Menge ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ i.d.R. kein Untervektorraum von V. Ziel ist es nun, ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ durch möglichst wenige Vektoren zu einem Untervektorraum aufzustocken.

Definition: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum und $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ , dann heißt die Menge

$< v_{1}, \dots, v_{k} > ≔ {α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} | α_{1}, \dots, α_{k} \in ℝ}$

das Erzeugnis der Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k}$ . Die Vektoren selbst nennen wir Erzeuger von $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ . Ein Element von $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ , also ein Vektor der Form

$α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} = \sum_{i = 1}^{k} α_{i} v_{i}$

heißt eine Linearkombinationen von $v_{1}, \dots, v_{k}$ .

Um auch den Fall k = 0 zur Verfügung zu haben, setzen wir zusätzlich:

$< > ≔ < \emptyset > ≔ {0}$ .

Beachte:

Da die Vektoraddition kommutativ ist, hängt die Menge $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ nicht von der Reihenfolge der Erzeuger ab. Gelegentlich schreiben wir daher auch $< {v_{1}, \dots, v_{k}} >$ statt $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ .
Zwischen den Mengen $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ und ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ ist streng zu unterscheiden. Im Weiteren werden wir zwar zeigen, dass die Inklusion ${v_{1}, \dots, v_{k}} \subset < v_{1}, \dots, v_{k} >$ stets gültig ist, aber, von einer Ausnahme abgesehen, ist der Untervektorraum $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ eine unendliche Menge.
Das Erzeugnis der Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k}$ wird auch die lineare Hülle oder auch der Spann von $v_{1}, \dots, v_{k}$ genannt und dann meist mit dem Symbol span( $v_{1}, \dots, v_{k}$ )bezeichnet.
Die Frage, ob ein gegebener Vektor x in einem Erzeugnis liegt, ist immer die Frage, ob x eine bestimmte Darstellungsform zuläßt oder nicht:

$x \in < v_{1}, \dots, v_{k} > \Leftrightarrow es gibt α_{1}, \dots, α_{k} \in ℝ, so dass x = α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k}$ .

Die Bearbeitung eines solchen Problems führt meist zu linearen Gleichungssystemen!
Das Erzeugnis eines Vektors v ist die Menge aller Vielfachen von v:

$< v > = {α v | α \in ℝ}$ .

Im Rⁿ ist dadurch eine Ursprungsgerade gegeben.

Beispiel: In $ℝ^{3}$ hat man für $U ≔ < (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) > = {α_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + α_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) | α_{1}, α_{2} \in ℝ} = {(\begin{matrix} 2 α_{1} + α_{2} \\ α_{1} + 3 α_{2} \\ α_{1} + α_{2} \end{matrix}) | α_{1}, α_{2} \in ℝ}$
etwa: $(\begin{matrix} 0 \\ - 10 \\ - 2 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - 4 (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \in U$ , aber auch $0 = 0 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 0 (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \in U$ .
Die folgenden Beispiele zeigen, wie man überprüfen kann, ob ein Vektor in einem Erzeugnis liegt oder nicht:

$\begin{array}{l} a . (\begin{matrix} - 8 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) \in U & \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2} \in ℝ, so dass α_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + α_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2} \in ℝ, so dass \begin{matrix} 2 α_{1} + α_{2} = - 8 \\ α_{1} + 3 α_{2} = 6 \\ α_{1} + α_{2} = - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2} \in ℝ, so dass \begin{matrix} α_{1} = - 6 \\ α_{1} + 3 α_{2} = 6 \\ α_{2} = - 2 - α_{1} = 4 \end{matrix} \end{array}$

Da die mittlere Gleichung ebenfalls von $α_{1} = - 6 \land α_{2} = 4$ gelöst wird, ist das Gleichungssystem (eindeutig) lösbar; daher ist $(\begin{matrix} - 8 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) = - 6 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 4 (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \in U$ .

$\begin{array}{l} b . (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \in U & \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2} \in ℝ, so dass α_{1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + α_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2} \in ℝ, so dass \begin{matrix} 2 α_{1} + α_{2} = 2 \\ α_{1} + 3 α_{2} = 0 \\ α_{1} + α_{2} = 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2} \in ℝ, so dass \begin{matrix} α_{1} = 1 \\ α_{1} + 3 α_{2} = 0 \\ α_{2} = 1 - α_{1} = 0 \end{matrix} \end{array}$

Hier nun zeigt die mittlere Gleichung, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt, daher ist $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \notin U$ .

Beispiel:

$\begin{array}{l} In ℙ ist U ≔ < X^{2}, X + 1, X - 1 > & = {α_{1} X^{2} + α_{2} (X + 1) + α_{3} (X - 1) | α_{1}, α_{2}, α_{3} \in ℝ} \\ = {α_{1} X^{2} + (α_{2} + α_{3}) X + (α_{2} - α_{3}) 1 | α_{1}, α_{2}, α_{3} \in ℝ} \end{array}$

Also hat man etwa: $4 X^{2} + 7 X + 3 = 4 X^{2} + (5 + 2) X + (5 - 2) 1 \in U$ .

Die Gleichheit von Polynomen über $ℝ$ ist die Gleichheit ihrer Koeffizienten (Identätssatz für Polynome). Man kann daher wie im vorangehenden Beispiel argumentieren:

$\begin{array}{l} X \in U & \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2}, α_{3} \in ℝ, so dass α_{1} X^{2} + (α_{2} + α_{3}) X + (α_{2} - α_{3}) 1 = 0 \cdot X^{2} + 1 \cdot X + 0 \cdot 1 \\ \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2}, α_{3} \in ℝ, so dass \begin{matrix} α_{1} = 0 \\ α_{2} + α_{3} = 1 \\ α_{2} - α_{3} = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow es gibt α_{1}, α_{2}, α_{3} \in ℝ, so dass \begin{matrix} α_{1} = 0 \\ 2 α_{2} = 1 \\ α_{3} = α_{2} \end{matrix} \end{array}$

Das liefert die (eindeutige) Darstellung

X = 0 \cdot X^{2} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) X + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) 1 \in U

Wir benötigen gelegentlich die folgenden Standardbeispiele:

Bemerkung:

In jedem Vektorraum V gilt: < 0 > = {0}.
In $ℙ$ gilt: $< 1, X, \dots, X^{n - 1}, X^{n} > = ℙ^{n}$ .
In $ℝ^{n}$ gilt: $< e_{1}, \dots, e_{n} > = ℝ^{n}$ .

Beweis:

Zu 1.: $< 0 > = {α 0 | α \in ℝ} = {0}$ .

Zu 2.: $< 1, X, \dots, X^{n - 1}, X^{n} > = {α_{0} 1 + α_{1} X + \dots + α_{n} X^{n} | α_{0}, \dots, α_{n} \in ℝ} = ℙ^{n}$ .

Zu 3.: $< e_{1}, \dots, e_{n} > = {α_{1} e_{1} + \dots + α_{n} e_{n} | α_{1}, \dots, α_{n} \in ℝ} = {(\begin{matrix} α_{1} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}) | α_{1}, \dots, α_{n} \in ℝ} = ℝ^{n}$ .

Ziel bei der Definition des Erzeugnisbegriffs war es, {v₁,...,v_k} durch möglichst wenige Vektoren zu einem Untervektorraum aufzustocken. Die folgende Bemerkung stellt sicher, dass diese zentrale Eigenschaft tatsächlich vorliegt .

Bemerkung: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum und $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ , dann ist < v₁,...,v_k > der kleinste Untervektorraum, der die Vektoren v₁,...,v_k enthält.
Beweis:

Die Aussage ist offensichtlich richtig für k = 0, so dass wir k > 0 annehmen dürfen. Wir zeigen nun:

< v₁,...,v_k > ist ein Untervektorraum von V.

$v_{1}, \dots, v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

Für jeden (anderen) Untervektorraum $U \subset V$ , der v₁,...,v_k enthält, gilt: $< v_{1}, \dots, v_{k} > \subset U$ .

Zu 1.:
Es sind die drei definierenden Eigenschaften eines Untervektorraums nachzuweisen:

$0 = 0 v_{1} + \dots + 0 v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

Für zwei Linearkombinationen $α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ und $β_{1} v_{1} + \dots + β_{k} v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ hat man nach Umsortieren und Zusammenfassen:
$α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} + β_{1} v_{1} + \dots + β_{k} v_{k} = (α_{1} + β_{1}) v_{1} + \dots + (α_{1} + β_{k}) v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

Ist $α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ , so gilt für jedes $α \in ℝ$ :
$α (α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k}) = (α α_{1}) v_{1} + \dots + (α α_{k}) v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

Zu 2.:
Für ein beliebiges i schreibt man unter Verwendung des Kronecker-Symbols $δ_{i, j} ≔ {\begin{array}{l} 1, falls i = j \\ 0, falls i \neq j \end{array}$

$v_{i} = δ_{i,1} v_{1} + \dots + δ_{i, i} v_{i} + \dots + δ_{i, k} v_{k} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

Zu 3.:
Wir müssen zeigen: Jede Linearkombination der Vektoren v₁,...,v_k liegt in U. Seien dazu $α_{1}, \dots, α_{k} \in ℝ$ vorgegeben. Als Untervektorraum ist U bzgl. der skalaren Multiplikation und bzgl. der Vektoraddition abgeschlossen, man kann also der Reihe nach argumentieren:
$\begin{array}{l} v_{1}, \dots, v_{k} \in U \\ \Rightarrow & α_{1} v_{1}, \dots, α_{k} v_{k} \in U \\ \Rightarrow & α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} \in U \end{array}$

Beachte:

Da Erzeugnisse stets Untervektorräume sind, lässt sich manche Teilmenge schnell und elegant als Untervektorraum nachweisen, wie z.B.

${(\begin{matrix} x + 2 y \\ 4 x \\ 2 x - y \end{matrix}) | x, y \in ℝ} = < (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) >$ .

Bemerkung: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum und $v_{1}, \dots, v_{k}, x \in V$ , dann gilt:

$< v_{1}, \dots, v_{k} > \subset < v_{1}, \dots, v_{k}, x >$ .

Im Allgemeinen ist $< v_{1}, \dots, v_{k} > \neq < v_{1}, \dots, v_{k}, x >$ .

< $< v_{1}, \dots, v_{k} > = < v_{1}, \dots, v_{k}, x > \Leftrightarrow x \in < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

Beweis:

Zu 1.:
Wir müssen zeigen: Jede Linearkombination von v₁,...,v_k ist auch eine Linearkombination von v₁,...,v_k, x. Dies ist aber über die folgende Gleichheit leicht einzusehen:

$α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} = α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} + 0 x$ .

Zu 2.:
Hier reicht ein Gegenbeispiel. So gilt etwa in $𝔽 (ℝ)$ : $< X > \neq < X,1 >$ , denn $1 \notin < X >$ .

Zu 3.:
" $\Rightarrow$ ": Da jeder Erzeuger zu seinem Erzeugnis gehört, hat man hier: $x \in < v_{1}, \dots, v_{k}, x > = < v_{1}, \dots, v_{k} >$ .

" $\Leftarrow$ ": Nach 1. ist bereits eine Teilmengenbeziehung erfüllt; bleibt zu zeigen $< v_{1}, \dots, v_{k} > \supset < v_{1}, \dots, v_{k}, x >$ .
Nach Voraussetzung liegt x in $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ , es gibt daher eine Darstellung von x in $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ , etwa:

$x = β_{1} v_{1} + \dots + β_{k} v_{k}$ .

Sei nun $y = α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} + α_{k + 1} x$ ein beliebiger Vektor aus $< v_{1}, \dots, v_{k} >$ . Folgt:

$\begin{array}{l} y & = α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} + α_{k + 1} (β_{1} v_{1} + \dots + β_{k} v_{k}) \\ = (α_{1} + α_{k + 1} β_{1}) v_{1} + \dots + (α_{k} + α_{k + 1} β_{k}) v_{k} \\ \in < v_{1}, \dots, v_{k} > \end{array}$

Beachte:

Da die Reihenfolge der Erzeuger ohne Bedeutung ist, muß der Vektor x nicht notwendig an letzter Stelle stehen.
Wir lesen die Aussage 3. auf zweierlei Weise:
- Ohne das Erzeugnis zu verändern läßt sich die Erzeugersequenz durch jeden Vektor verlängern, der bereits im gegebenen Erzeugnis liegt.
- Ohne das Erzeugnis zu verändern läßt sich die Erzeugersequenz um einen Vektor verkürzen, wenn dieser Vektor im Erzeugnis der restlichen Erzeuger liegt.

Neben dem (geeigneten) Verlängern oder Verkürzen von Erzeugersequenzen gibt es weitere Manipulationen, die das Erzeugnis unverändert lassen.

Definition: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum und $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ und $α \in ℝ^{\neq 0}$ , dann gilt:

$< v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k} > = < v_{1}, \dots, α v_{i}, \dots, v_{k} >$ .

$< v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{k} > = < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j} + v_{i}, \dots, v_{k} >$ .

$< v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{k} > = < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j} + α v_{i}, \dots, v_{k} >$ .

$< v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{k} > = < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j} - α v_{i}, \dots, v_{k} >$ .

Beweis:

Zu 1.: Wir benutzen 3. aus der vorherigen Bemerkung zweimal (beachte im zweiten Schritt: $α \neq 0$ ).

$\begin{array}{l} < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k} > & = < v_{1}, \dots, v_{i}, α v_{i}, \dots, v_{k} > & (Verlängern möglich, da α v_{i} \in < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k} >) \\ = < v_{1}, \dots, α v_{i}, \dots, v_{k} > & (Verkürzen möglich, da v_{i} = \frac{1}{α} α v_{i} \in < v_{1}, \dots, α v_{i}, \dots, v_{k} >) \end{array}$

Zu 2.: Der Fall i = j ist bereits in 1. bewiesen (mit a = 2). Für $i \neq j$ gehen wir wie gerade vor:

$\begin{array}{l} < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{k} > & = < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, v_{j} + v_{i}, \dots, v_{k} > & (Verlängern möglich, da v_{j} + v_{i} \in < v_{1}, \dots, v_{k} >) \\ = < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j} + v_{i}, \dots, v_{k} > & (Verkürzen möglich, da v_{j} = (v_{j} + v_{i}) - v_{i} \in < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j} + v_{i}, \dots, v_{k} >) \end{array}$

Zu 3.: Durch Kombination von 1. und 2. erhält man:

$\begin{array}{l} < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{k} > & = < v_{1}, \dots, α v_{i}, \dots, v_{j}, \dots, v_{k} > \\ = < v_{1}, \dots, α v_{i}, \dots, v_{j} + α v_{i}, \dots, v_{k} > \\ = < v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{j} + α v_{i}, \dots, v_{k} > \end{array}$

4. ergibt sich als Spezialfall von 3. wenn man $α$ durch $- α$ ersetzt.

Beachte:
Erzeugnisse bleiben also unverändert, wenn man

einen Erzeuger mit einem Faktor $α \neq 0$ multipliziert oder durch ihn dividiert.
zu einem Erzeuger einen anderen addiert oder von ihm subtrahiert.
zu einem Erzeuger ein Vielfaches eines anderen addiert oder von ihm subtrahiert.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie man dieses Prinzip einsetzen kann. Oft lassen sich dadurch Erzeugnisse übersichtlicher und kürzer darstellen.

Beispiel:

In $ℙ$ ist
$\begin{array}{l} < 2 X^{2}, X - X^{2}, X - 1, X + 1 > & (Dividiere den ersten Vektor durch 2 .) \\ = < X^{2}, X - X^{2}, X - 1, X + 1 > & (Addiere den ersten Vektor zum zweiten .) \\ = < X^{2}, X, X - 1, X + 1 > & (Addiere den dritten Vektor zum vierten .) \\ = < X^{2}, X, X - 1,2 X > & (2 X \in < X^{2}, X, X - 1 >, kann also weggelassen werden .) \\ = < X^{2}, X, X - 1 > & (Subtrahieren vom dritten Vektor den zweiten .) \\ = < X^{2}, X, - 1 > & (Multiplizieren den dritten Vektor mit −1 .) \\ = < X^{2}, X,1 > \\ = ℙ^{2} . \end{array}$
In $𝔽 (ℝ)$ ist
$\begin{array}{l} < \sin^{2}, \cos^{2},1 > & (Addiere den ersten Vektor zum zweiten .) \\ = < \sin^{2}, \sin^{2} + \cos^{2},1 > & (\sin^{2} + \cos^{2} = 1 \in < \sin^{2},1 > .) \\ = < \sin^{2},1 > . \end{array}$
In $ℝ^{3}$ ist
$\begin{array}{l} < (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) > & (Subtrahiere den ersten Vektor vom zweiten .) \\ = < (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) > & (Verkürze die Sequenz .) \\ = < (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) > & (Teile den ersten Vektor durch 2 .) \\ = < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) > & (Addiere den ersten Vektor zum zweiten .) \\ = < (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) > . \end{array}$

9.1

9.3.