mathproject >> 4.5. Polynome

Da hierbei nur die Addition und die Multiplikation benötigt wird, bietet sich zwar eine Verallgemeinerung auf einen beliebigen Ring R an, wenige zusätzliche Eigenschaften sind aber von Vorteil. Im Folgenden sei nun R ein kommutativer Ring mit 1

Wir betrachten dabei zunächst nur den Koeffizientensatz einer solchen Funktion. Um beliebig hohe Potenzen von X verwenden zu können, stellen wir uns darunter eine unendliche Folge in R vor, bei der aber nur endlich viele Glieder von 0 verschieden sind, denn eine echte unendliche Summe soll hier nicht betrachtet werden. Zu jedem Koeffizientensatz wird es daher ein n geben, so dass alle Folgenglieder mit höherem Index den Wert 0 haben.

Definition: Eine Folge $p = (a_{i})$ in R (siehe [5.1.1]) nennen wir ein Polynom (über R) falls es ein $n \in ℕ$ gibt, so dass $a_{i} = 0$ für alle $i > n$ , falls also p die Form $(a_{0}, \dots, a_{n},0, \dots)$ hat.

Die Elemente $a_{0}, \dots, a_{n}$ sind die Koeffizienten von p. Ist $a_{n} \neq 0$ , so ist dies der Leitkoeffizient und n der Grad von p (in Zeichen: $n = g r a d p$ ). Wir nennen p normiert, falls $a_{n} = 1$ . Die speziellen Polynome der Form $(0, \dots,0, a_{i},0, \dots)$ , $a_{i} \neq 0$ , heißen auch Monome.

Wir bezeichnen hier mit X die Identität auf R und nennen die Funktion

f_{p} ≔ \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n}

[4.5.1]

die zu p gehörige Polynomfunktion (auch ganz-rationale Funktion) und p selbst ein Generatorpolynom (bzw. Erzeugerpolynom) von $f_{p}$ .

Die Menge aller Polynome über R bezeichnen wir mit dem Symbol $R [X]$ , die aller Polynomfunktionen mit $ℙ (R)$ .

Im Spezialfall $R = ℂ$ ersetzen wir X durch Z. Polynomfunktionen zu Elementen von $ℂ [Z]$ notieren wir also in der Form

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} Z^{i}

Die strenge Unterscheidung zwischen Polynom und Polynomfunktion mag übertrieben aufwändig erscheinen. Sie ist aber notwendig, denn es gibt Ringe bei denen verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion erzeugen. In diesen Fällen ist also die Generatorabbildung

nicht injektiv (siehe Beispiele). In [5.5.18] zeigen wir allerdings, dass

ϕ

bei unendlichen Integritätsringen

stets injektiv ist, so dass wir hier zwischen p und

f_{p}

nicht mehr unterscheiden müssen.

Wie alle R-wertigen Funktionen lassen sich auch Polynomfunktionen über die Grundrechenarten verrechnen. Dabei wird sich zeigen, dass

ℙ (R)

gegenüber +, − und ⋅ abgeschlossen ist.

Für den Beweis ist es bequem, zunächst eine analoge Rechenstruktur auch für die Polynome selbst zu haben. Für

p = (a_{i})

und

q = (b_{i})

führen wir daher die Summe und das sog. Cauchy-Produkt ein:

$p + q = (a_{i} + b_{i})$
$p \cdot q = (\sum_{j + k = i} a_{j} \cdot b_{k})$

[4.5.3]

+

und

\cdot

erzeugen auf

R [X]

eine Ringstruktur. Dazu zeigen wir zunächst, dass

+

und

\cdot

auf

R [X]

abgeschlossen sind. Der damit einhergehende Gradsatz ist für die weiteren Überlegungen von großer Bedeutung.

Bemerkung (Gradsatz): Mit p und q sind auch $p + q$ und $p \cdot q$ Polynome über R. Dabei gilt

$g r a d (p + q) \leq \max {g r a d p, g r a d q}$ .	[4.5.4]
$g r a d (p \cdot q) \leq g r a d p + g r a d q$ . Ist R nullteilerfrei, so gilt die Gradformel: $g r a d (p \cdot q) = g r a d p + g r a d q$ .	[4.5.5]

Beweis: Sind p und q Polynome, so sind ihre Koeffizienten $a_{i}$ und $b_{i}$ nur für endlich viele i von Null verschieden, genauer hat man für $n = g r a d p$ und $m = g r a d q$ : $a_{i} = 0$ für $i > n$ und $b_{i} = 0$ für $i > m$ . Damit ist aber auch

1. ► $a_{i} + b_{i} = 0$ für alle $i > \max {n, m}$ , womit auch

g r a d (p + q) \leq \max {n, m} = \max {g r a d p, g r a d q}

gegeben ist.

2. ► Beim Produkt $p \cdot q$ argumentiert man wie folgt: Ist $j + k = i > n + m$ , so ist:

j > n \lor k > m \Rightarrow a_{j} = 0 \lor b_{k} = 0 \Rightarrow a_{j} \cdot b_{k} = 0 \Rightarrow \sum_{j + k = i} a_{j} \cdot b_{k} = 0

Also sind höchstens die Koeffizienten von $p \cdot q$ von Null verschieden, deren Index $\leq n + m$ ist. Das belegt auch

g r a d (p \cdot q) \leq n + m = g r a d p + g r a d q

Sei nun R nullteilerfrei. Ist $p = 0$ oder $q = 0$ , also $g r a d p = - \infty$ oder $g r a d q = - \infty$ , so ist nichts zu zeigen, denn da auch $p \cdot q = 0$ , hat man

g r a d (p \cdot q) = - \infty = g r a d p + g r a d q

Ist dagegen $a_{n}, b_{m} \neq 0$ , so ist auch $a_{n} \cdot b_{m} \neq 0$ . Dies ist aber der einzige Summand, der bei der Berechnung des ( $n + 1$ )-ten Folgenglieds von $p \cdot q$ zu berücksichtigen ist, denn für $j > n \lor k > m$ ist $a_{j} \cdot b_{k} = 0$ und für $j \leq n \land k \leq m$ hat man

j + k = n + m \Leftrightarrow j = n \land k = m

Also ist

a_{n} \cdot b_{m}

der Leitkoeffizient von

p \cdot q

und damit:

g r a d (p \cdot q) = n + m = g r a d p + g r a d q

Wir zeigen nun, dass die Verknüpfungen

+

und

\cdot

auf

R [X]

die für eine Ringstruktur notwendigen Rechengesetze erfüllen.

Bemerkung:

$(R [X], +, \cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit 1. Dabei ist

[4.5.6]

$0 = (0,0, \dots)$ das neutrale Element,
$1 = (1,0, \dots)$ das Einselement,
$(- a_{i})$ das inverse Element zu $(a_{i})$ und
$(a_{i}) - (b_{i}) = (a_{i} - b_{i})$ die zu $+$ gehörige Subtraktion.

Setzt man für

c \in R

und

p = (a_{i})

c \cdot p = (c,0, \dots) \cdot (a_{i}) = (\sum_{0 + k = i} c \cdot a_{k}) = (c \cdot a_{i})

so ist $(R [X], +)$ ein R-Modul.
i

Eine abelsche Gruppe $(M, +)$ also, so dass
$\begin{array}{l} r \cdot (s \cdot m) = (r \cdot s) \cdot m \\ (r + s) \cdot m = r \cdot m + s \cdot m \\ r \cdot (m + n) = r \cdot m + r \cdot n . \end{array}$

[4.5.7]

Die Generatorabbildung $ϕ : R [X] \to ℙ (R)$ ([4.5.2]) ist ein Ringhomomorphismus der die 1 auf die 1 abbildet und ein Modulhomomorphismus.

Beweis:

Der Gradsatz [4.5.5] stellt sicher, dass Ringe die Nullteilerfreiheit auf ihre Polynomringe vererben:

Sind nämlich p und q zwei von 0 verschiedene Polynome, also beide von einem Grad

\geq 0

, so ist auch

g r a d p \cdot g r a d q \geq 0

p \cdot q

ist damit nicht das Nullpolynom.

Die Generatorabbildung

ϕ : R [X] \to ℙ (R)

induziert über seine Homomorphieeigenschaften eine Ring- bzw. Modulstruktur auf

ℙ (R)

. Insbesondere sind die Polynomfunktionen daher abgeschlossen bzgl.

+

und

\cdot

, sowie bezüglich der Vielfachenbildung. Genauer hat man für zwei Polynomfunktionen

f_{p}

und

f_{q}

$f_{p} + f_{q} = f_{p + q}$
$f_{0} = 0$
$f_{1} = 1$

$- f_{p} = f_{- p}$
$f_{p} - f_{q} = f_{p - q}$

$f_{p} \cdot f_{q} = f_{p \cdot q}$
$c \cdot f_{p} = f_{c \cdot p}$

Zwar ist $ℙ (R)$ nicht mehr abgeschlossen bzgl. der Division (so ist z.B. in $ℙ (ℝ)$ der Quotient $\frac{1}{X}$ keine Polynomfunktion mehr), aber der Polynomring erlaubt eine Division mit Rest, die sog. Polynomdivision.

Bemerkung: Ist $p = (a_{i})$ ein Polynom vom Grad n und $q = (b_{i})$ ein normiertes Polynom vom Grad $m \leq n$ , so gibt es Polynome s und r mit $g r a d s = g r a d p - g r a d q$ und $g r a d r < g r a d q$ , so dass

f_{p} = f_{s} \cdot f_{q} + f_{r}

[4.5.9]

Ist R nullteilerfrei, so sind r und s eindeutig bestimmt.

Beweis: Wir zeigen zunächst die Existenz von s und r und setzen dabei ein konstruktives Verfahren ein. Dadurch kann man in konkreten Beispielen die Polynome s und r auch wirklich ermitteln! Ein Maß für den zu leistenden Aufwand ist dabei die Graddifferenz $k = n - m \geq 0$ .

Per Rekursion (siehe [5.2.8]) konstruieren wir jetzt eine Folge $p_{0}, \dots, p_{k + 1}$ von $k + 2$ vielen Polynomen und beginnen mit $p_{0} ≔ p$ . Ist nun $p_{i} = (c_{i,0}, \dots)$ bereits gegeben, so setzen wir $p_{i + 1} ≔ (c_{i + 1,0}, \dots)$ , wobei

c_{i + 1, j} ≔ {\begin{array}{l} c_{i, j} für j \leq k - i - 1 \\ c_{i, j} - c_{i, n - i} \cdot b_{j - k + i} für j > k - i - 1 \end{array}

[0]

Wir zeigen zunächst per Induktion (siehe [5.2.2]) für alle $0 \leq i \leq k + 1$ :

g r a d p_{i} \leq n - i

[1]

Da $g r a d p_{0} = g r a d p = n \leq n - 0$ , gilt die Aussage für den Fall $i = 0$ .
Sei jetzt $g r a d p_{i} \leq n - i$ bereits gegeben, d.h. man hat $c_{i, j} = 0$ für alle $j > n - i$ . Ist nun $j > n - (i + 1)$ , so ist insbesondere $j > n - m - (i + 1) = k - i - 1$ , also gemäß [0]:

$c_{i + 1, j} = c_{i, j} - c_{i, n - i} \cdot b_{j - k + i}$ .

Wir unterscheiden nun zwei Fälle:

1. $j > n - i$ , also auch $j - k + i > n - i - k + i = m$ . Dann aber ist $c_{i, j} = 0$ und $b_{j - k + i} = 0$ , man hat also: $c_{i + 1, j} = 0$ .

2. $j = n - i$ . Da $b_{m} = 1$ , hat man hier:
$c_{i + 1, j} = c_{i, n - i} - c_{i, n - i} \cdot b_{n - i - k + i} = c_{i, n - i} - c_{i, n - i} \cdot b_{m} = 0$ .

Damit ist aber $g r a d p_{i + 1} \leq n - (i + 1)$ sichergestellt.

Diese Information über $g r a d p_{i}$ erlaubt es nun, die Rekursion [0] auf die Polynomfunktionen zu übertragen. Für $0 \leq i \leq k$ ist

f_{p_{i}} = c_{i, n - i} X^{k - i} \cdot f_{q} + f_{p_{i + 1}}

.[2]

Beweis:

\begin{array}{l} f_{p_{i + 1}} + c_{i, n - i} X^{k - i} \cdot f_{q} \\ = & \sum_{j = 0}^{n - i - 1} c_{i + 1, j} X^{j} + c_{i, n - i} X^{k - i} \cdot \sum_{j = 0}^{m} b_{j} X^{j} \\ = & \sum_{j = 0}^{k - i - 1} c_{i, j} X^{j} + \sum_{j = k - i}^{n - i - 1} (c_{i, j} - c_{i, n - i} \cdot b_{j - k + i}) X^{j} + \sum_{j = k - i}^{\overset{= n - i}{\overset{︷}{m + k - i}}} c_{i, n - i} \cdot b_{j - k + i} X^{j} \\ = & \sum_{j = 0}^{n - i - 1} c_{i, j} X^{j} + c_{i, n - i} \cdot \underset{= b_{m} = 1}{\underset{︸}{b_{n - i - k + i}}} X^{n - i} \\ = & \sum_{j = 0}^{n - i} c_{i, j} X^{j} = f_{p_{i}} \end{array}

Mit einem zweiten Induktionsbeweis zeigen wir jetzt für alle $0 \leq i \leq k$ :

f_{p} = (\sum_{j = 0}^{i} c_{j, n - j} X^{k - j}) \cdot f_{q} + f_{p_{i + 1}}

.[3]

Für $i = 0$ erhält man aus [2]:
$f_{p} = f_{p_{0}} = c_{0, n - 0} X^{k - 0} \cdot f_{q} + f_{p_{1}} = (\sum_{j = 0}^{0} c_{j, n - j} X^{k - j}) \cdot f_{q} + f_{p_{1}}$ .
Ist die Aussage für ein i wahr und $i + 1 \leq k$ , so hat man wieder mit [2]:
$\begin{array}{l} f_{p} & = (\sum_{j = 0}^{i} c_{j, n - j} X^{k - j}) \cdot f_{q} + f_{p_{i + 1}} \\ = (\sum_{j = 0}^{i} c_{j, n - j} X^{k - j}) \cdot f_{q} + c_{i + 1, n - (i + 1)} X^{k - (i + 1)} \cdot f_{q} + f_{p_{i + 2}} \\ = (\sum_{j = 0}^{i + 1} c_{j, n - j} X^{k - j}) \cdot f_{q} + f_{p_{i + 2}} . \end{array}$

Mit $i = k$ erhalten wir aus [3] schließlich

f_{p} = (\sum_{j = 0}^{k} c_{j, n - j} X^{k - j}) \cdot f_{q} + f_{p_{k + 1}}

so dass mit $s ≔ (c_{k, n - k}, c_{k - 1, n - k + 1}, \dots, c_{0, n},0, \dots)$ und $r ≔ p_{k + 1}$ die Existenz von s und r gesichert ist, denn [1] garantiert, dass

g r a d r = g r a d p_{k + 1} \leq n - (k + 1) = m - 1 < m = g r a d q

und da

c_{n} = a_{n} \neq 0

, hat man auch:

g r a d s = k = n - m = g r a d p - g r a d q

Nun zur Eindeutigkeit: Angenommen s' und r', $g r a d r' < m$ , seien zwei weitere Polynome, so dass $p = s' \cdot q + r'$ . Dann hat man aber $s \cdot q + r = s' \cdot q + r'$ und damit

(s - s') \cdot q = r' - r

Ist $s = s'$ , also $s - s' = 0$ , so ist auch $r = r'$ . Falls $s \neq s'$ , gilt gemäß Gradformel [4.5.5]:

m \leq g r a d (s - s') + m = g r a d ((s - s') \cdot q) = g r a d (r' - r) < m

- Widerspruch.

Wir üben die Polynomdivision anhand der im Beweis eingeführten Rekursion auf einer eigenen Seite. Dort gibt es auch ein Formular, mit dem beliebige Polynomdivisionen durchgeführt werden können.

Der Darstellungssatz [4.5.9] ist sehr hilfreich bei der Untersuchung der Nullstellen von Polynomfunktionen. Wir halten zunächst fest, dass die Nullstellensuche und das Lösen von Gleichungen höheren Grades dieselben Probleme darstellen. Ist nämlich

f_{p} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}

, so hat man:

Der folgende Satz nennt ein wichtiges Kriterium für die Existenz einer Nullstelle von

f_{p}

Bemerkung: Ist p ein Polynom vom Grad $n \geq 1$ und $c \in R$ . Ist $f_{p}$ nicht die Nullfunktion, so gilt:

\begin{array}{l} f_{p} (c) = 0 \\ \Leftrightarrow & es gibt ein Polynom s vom Grad n - 1, so dass \\ f_{p} = f_{s} \cdot (X - c) \end{array}

[4.5.10]

c ist also genau dann Nullstelle von $f_{p}$ , wenn sich (und das ist der hier übliche Sprachgebrauch) "der zu c gehörige Linearfaktor $(X - c)$ von $f_{p}$ abspalten lässt".

Beweis: $" \Rightarrow "$ : Da $X - c = f_{(- c,1,0, \dots)}$ gibt es gemäß [4.5.9] Polynome s und r mit $g r a d s = n - 1$ und $g r a d r < 1$ , also $g r a d r \leq 0$ , so dass

f_{p} = f_{s} \cdot (X - c) + f_{r}

Ist jetzt c Nullstelle von $f_{p}$ , so weiß man:

0 = f_{p} (c) = f_{s} (c) \cdot (c - c) + f_{r} (c) = 0 + f_{r} (c) = f_{r} (c)

Beachtet man, dass aufgrund der Gradbeschränkung von r die Polynomfunktion $f_{r}$ konstant ist, hat man $f_{r} = 0$ , also: $f_{p} = f_{s} \cdot (X - c)$ .

$" \Leftarrow "$ : Ist $f_{p} = f_{s} \cdot (X - c)$ , so hat man: $f_{p} (c) = f_{s} (c) \cdot (c - c) = 0$ .

In manchen Fällen ist c nicht nur eine Nullstelle von

f_{p}

, sondern darüber hinaus auch von

f_{s}

, so dass sich auch von

f_{s}

der Linearfaktor

X - c

abspalten lässt. Die Darstellung

f_{p} = f_{s} \cdot (X - c) \cdot (X - c)

(mit einem neuen

f_{s}

) lesen wir dann so, dass

X - c

zweimal von

f_{p}

abgespaltet werden konnte. Dieses Konzept der mehrfachen Abspaltbarkeit führt zu einer Verschärfung von [4.5.10].

Bemerkung: Es sei p ein Polynom vom Grad $n \geq 1$ und $c \in R$ . Ist $f_{p}$ nicht die Nullfunktion, so gilt:

\begin{array}{l} f_{p} (c) = 0 \\ \Leftrightarrow & es gibt ein 1 \leq i \leq n, ein s vom Grad n - i, so dass f_{s} (c) \neq 0 und \\ f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c)}^{i} \end{array}

[4.5.11]

Ist R nullteilerfrei, so ist die Zahl i eindeutig bestimmt. Wir nennen sie die Ordnung (oder die Vielfachheit) der Nullstelle c.

Beweis: Die Richtung " $\Leftarrow$ " ist trivial. Zum Nachweis der Richtung " $\Rightarrow$ " betrachten wir die Menge

M = {j \in ℕ^{*}, j \leq n | es gibt ein s vom Grad n - j, so dass f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c)}^{j}}

Sie ist nicht leer, da nach [4.5.10] 1 zu M gehört, und beschränkt (durch n). Zu

i ≔ \max M \in {1, \dots, n}

gibt es zunächst ein Polynom s vom Grad $n - i$ , so dass $f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c)}^{i}$ . Ist $i = n$ , so ist $f_{s}$ konstant, und zwar von Null verschieden, denn sonst wäre auch $f_{p}$ die Nullfunktion. Also ist insbesondere $f_{s} (c) \neq 0$ . Dies gilt auch im Fall $i < n$ , denn andernsfalls gäbe es nach [4.5.10] ein $\bar{s}$ vom Grad $n - i - 1 = n - (i + 1)$ mit $f_{s} = f_{\bar{s}} \cdot (X - c)$ , also $f_{p} = f_{\bar{s}} \cdot {(X - c)}^{i + 1}$ , im Widerspruch zur Maximalität von i.

Sei nun R nullteilerfrei und $\bar{s}$ ein weiteres Polynom, so dass $f_{\bar{s}} (c) \neq 0$ und $f_{p} = f_{\bar{s}} \cdot {(X - c)}^{j}$ . j ist damit ein Element von M, d.h. $j \leq i$ . Falls nun $j < i$ hat man

f_{\bar{s}} \cdot {(X - c)}^{j} = f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c)}^{i - j} \cdot {(X - c)}^{j}

Mit der Eindeutigkeitsaussage in [4.5.9] (mit $r = 0$ ) ergibt sich daraus die Gleichheit $f_{\bar{s}} = f_{s} \cdot {(X - c)}^{i - j}$ und damit der Widerspruch $f_{\bar{s}} (c) = 0$ .

Durch Iteration von [4.5.11] erhält man für nullteilerfreie Ringe auch ein Kriterium für mehrere Nullstellen einer Polynomfunktion:

Bemerkung: R sei nullteilerfrei, p ein Polynom vom Grad $n \geq 1$ und $1 \leq k \leq n$ . Ist $f_{p}$ nicht die Nullfunktion, so gilt für paarweise verschiedene Elemente $c_{1}, \dots, c_{k} \in R$ :

\begin{array}{l} c_{1}, \dots, c_{k} sind Nullstellen von f_{p} \\ \Leftrightarrow & es gibt i_{1}, \dots, i_{k} \in ℕ^{*}, i_{1} + \dots + i_{k} \leq n, und ein s vom Grad n - (i_{1} + \dots + i_{k}), so dass \\ f_{s} (c_{j}) \neq 0 \land f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c_{1})}^{i_{1}} \cdot \dots \cdot {(X - c_{k})}^{i_{k}} \end{array}

[4.5.12]

Beweis: Die Richtung " $\Leftarrow$ " ist trivial, denn als Nullstelle von $X - c_{j}$ ist $c_{j}$ automatisch auch Nullstelle von $f_{p}$ . Für " $\Rightarrow$ " führen wir einen Induktionsbeweis:

Ist $k = 1$ , so liegt die Situation [4.5.11] vor.
Sei [4.5.12] jetzt für ein $k < n$ bereits wahr. Sind $c_{1}, \dots, c_{k}, c_{k + 1}$ paarweise verschiedene Nullstellen von $f_{p}$ , so gibt es zunächst geeignete $i_{j}$ und ein Polynom s vom Grad $n - (i_{1} + \dots + i_{k})$ , so dass

$f_{s} (c_{j}) \neq 0 \land f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c_{1})}^{i_{1}} \cdot \dots \cdot {(X - c_{k})}^{i_{k}}$ .

Insbesondere ist $f_{s}$ nicht die Nullfunktion. Ferner ist gemäß Voraussetzung $c_{k + 1}$ von allen $c_{j}$ verschieden. Da R nullteilerfrei ist, hat man ${(c_{k + 1} - c_{1})}^{i_{1}} \cdot \dots \cdot {(c_{k + 1} - c_{k})}^{i_{k}} \neq 0$ . Mit $f_{p} (c_{k + 1}) = 0$ ist, noch einmal mit dem Argument "nullteilerfrei", auch $f_{s} (c_{k + 1}) = 0$ . Da $f_{s} \neq 0$ kann $f_{s}$ nicht konstant sein, d.h. $g r a d s \geq 1$ .

Daher gibt es nach [4.5.11] nun ein $i_{k + 1} \in {1, \dots, g r a d s}$ und ein Polynom $\bar{s}$ vom Grad $g r a d s - i_{k + 1} = n - (i_{1} + \dots + i_{k + 1})$ , so dass $f_{\bar{s}} (c_{k + 1}) \neq 0$ und $f_{s} = f_{\bar{s}} \cdot {(X - c_{k + 1})}^{i_{k + 1}}$ [4]. Insgesamt hat man also:

$f_{p} = f_{\bar{s}} \cdot {(X - c_{1})}^{i_{1}} \cdot \dots \cdot {(X - c_{k})}^{i_{k}} \cdot {(X - c_{k + 1})}^{i_{k + 1}}$

Schließlich ist auch $f_{\bar{s}} (c_{j}) \neq 0$ für die ersten k Nullstellen, denn andernfalls wäre nach [4] auch $f_{s} (c_{j}) = 0$ .

Dabei ist

g r a d s = n - (i_{1} + \dots + i_{k})

. Diese Information aber hat interessante Konsequenzen über die mögliche Anzahl von Nullstellen einer Polynomfunktion, denn ist s nicht das Nullpolynom, so kann unmöglich

i_{1} + \dots + i_{k} > n

sin.

Bemerkung: R sei nullteilerfrei und p ein Polynom vom Grad $n \geq 1$ . Ist $f_{p}$ nicht die Nullfunktion, so gilt:

$f_{p}$ besitzt höchstens n Nullstellen.

[4.5.13]

$f_{p}$ besitzt genau dann n (nicht notwendig verschiedene) Nullstellen, wenn $f_{p}$ "vollständig in Linearfaktoren zerfällt": $f_{p} = c \cdot (X - c_{1}) \cdot \dots \cdot (X - c_{n})$ .

[4.5.14]

Hat eine beliebige Polynomfunktion $f_{p}$ mit $g r a d p \leq n$ mehr als n Nullstellen, so ist $f_{p}$ die Nullfunktion.

[4.5.15]

Beweis:

1. ► Hat $f_{p}$ n Nullstellen, etwa $c_{1}, \dots, c_{k}$ , so gibt es nach [4.5.12] Zahlen $i_{1}, \dots, i_{k}$ , $i_{1} + \dots + i_{k} = n$ , und ein Polynom s vom Grad $n - (i_{1} + \dots + i_{k}) = 0$ , $f_{s} (c_{j}) \neq 0$ , so dass

f_{p} = f_{s} \cdot {(X - c_{1})}^{i_{1}} \cdot \dots \cdot {(X - c_{k})}^{i_{k}}

Da $g r a d s = 0$ , ist $f_{s}$ von 0 verschieden und konstant, also $f_{s} (x) \neq 0$ für alle $x \in R$ , so dass $f_{p}$ keine weiteren Nullstellen besitzt. $f_{p}$ kann also weniger, aber nicht mehr als n Nullstellen besitzen.

2. ► Die Richtung " $\Leftarrow$ " ist trivial und " $\Rightarrow$ " steht bereits im Beweis zu 1.

3. ► Dies ist i.w. die Aussage 1, denn ist $f_{p}$ nicht die Nullfunktion, so hat $f_{p}$ nicht mehr als n Nullstellen.

Wir illustrieren [4.5.14] an einem Beispiel in

ℝ

: Die Polynomfunktion

X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6

zerfällt vollständig. Zunächst findet man (durch Probieren) in 1 eine Nullstelle, so dass gemäß [4.5.10] die folgende Division ohne Rest aufgehen wird:

Wegen

x^{2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \lor x = 3

liefert die Polynomfunktion

X^{2} - X - 6

zwei weitere Nullstellen. Damit hat man die folgende Zerlegung:

[4.5.15] zeigt insbesondere, dass von Null verschiedene Polynomfunktionen etwa über

ℝ

nicht unendlich viele Nullstellen besitzen können. Daher weiß man z.B. jetzt: sin und cos sind keine Polynomfunktionen.

Über das Nullstellenverhalten der Polynomfunktionen gelingt es auch, ein wichtiges Kriterium für die Gleichheit zweier Polynomfunktionen zu beweisen: Zwei Polynomfunktionen eines unendlichen Integritätsrings sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen.

Bemerkung (Identitätssatz für Polynomfunktionen): R sei ein unendlicher Integritätsring. Sind $p = (a_{0}, \dots, a_{n},0, \dots)$ und $q = (b_{0}, \dots, b_{n},0, \dots)$ zwei Polynome vom Grad $\leq n$ , so gilt:

$f_{p} = 0 \Leftrightarrow a_{i} = 0 für alle i \Leftrightarrow p = 0$ .

[4.5.16]

$f_{p} = f_{q} \Leftrightarrow a_{i} = b_{i} für alle i \Leftrightarrow p = q$ .

[4.5.17]

Beweis: Wir zeigen nur die jeweils erste Äquivalenz. Die zweiten sind offensichtlich.

1. ► Sei $f_{p} = 0$ . Ist $a_{0} \neq 0$ , so ist $f_{p}$ nicht die Nullfunktion, denn: $f_{p} (0) = a_{0} \neq 0$ . Ist $a_{i} \neq 0$ für ein $i > 0$ , so ist $g r a d p \geq 1$ , $f_{p}$ hat also nach [4.5.13] nur endlich viele Nullstellen. Widerspruch. Die Richtung " $\Leftarrow$ " ist trivial.

2. ► Mit 1. hat man:

f_{p} = f_{q} \Leftrightarrow f_{p} - f_{q} = 0 \Leftrightarrow a_{i} - b_{i} = 0 f .a . i \Leftrightarrow a_{i} = b_{i} = 0 f .a . i

[4.5.16] drückt die bereits in [4.5.2] angesprochene Injektivität der Generatorabbildung

ϕ : p \mapsto f_{p}

für unendliche Integritätsringe aus:

Aufgrund dieser Tatsache werden wir für unendliche Integritätsringe nicht mehr zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheiden. Insbesondere sprechen wir vom Grad einer Polynomfunktion oder einer Nullstelle und dem Funktionswert eines Polynoms.

[4.5.17] erlaubt den sog. Koeffizientenvergleich: Zwei Polynomfunktionen sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen.

Eine weitere Konsequenz aus dem Nullstellenverhalten der Polynome ist die erstaunliche Tatsache, dass ein Polynom (über einem Körper++info) vom Grad

\leq n

bereits durch

n + 1

viele Funktionswerte eindeutig bestimmt ist.

Satz (Lagrangescher Interpolationssatz): Für einen beliebigen Körper K gilt:
Sind $(x_{0}, y_{0}), \dots, (x_{n}, y_{n}) n + 1$ viele Punkte des $K^{2}$ mit paarweise verschiedenen $x_{i}$ , so gibt es genau ein Polynom p vom Grad $\leq n$ so dass

p (x_{i}) = y_{i}

für alle i.

[4.5.19]

p heißt das zu den Stützpunkten (bzw. Knoten) $(x_{0}, y_{0}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ gehörige Lagrangesche Interpolationspolynom.

Beweis: Zunächst zur Eindeutigkeit: Angenommen q ist ein weiteres Polynom dieser Art. Dann hat das Polynom $p - q n + 1$ viele Nullstellen, denn $p (x_{i}) - q (x_{i}) = y_{i} - y_{i} = 0$ , aber $g r a d (p - q) \leq n$ im Widerspruch zu [4.5.13].

Den Nachweis der Existenz führen wir konstruktiv. Für $0 \leq k \leq n$ setzen wir

l_{k} ≔ \prod_{\begin{matrix} i = 0 \\ i \neq k \end{matrix}}^{n} \frac{X - x_{i}}{x_{k} - x_{i}} = \frac{(X - x_{0}) \cdot \dots \cdot (X - x_{k - 1}) \cdot (X - x_{k + 1}) \cdot \dots \cdot (X - x_{n})}{(x_{k} - x_{0}) \cdot \dots \cdot (x_{k} - x_{k - 1}) \cdot (x_{k} - x_{k + 1}) \cdot \dots \cdot (x_{k} - x_{n})}

Diese sog. Lagrangeschen Grundpolynome sind (faktorisierte) Polynome vom Grad n. Man beachte, dass das Nennerprodukt, also die Zahl

(x_{k} - x_{0}) \cdot \dots \cdot (x_{k} - x_{k - 1}) \cdot (x_{k} - x_{k + 1}) \cdot \dots \cdot (x_{k} - x_{n})

ungleich 0 ist, denn die $x_{i}$ sind paarweise verschieden und der Faktor $x_{k} - x_{k}$ kommt nicht vor!

Wir berechnen nun die Werte, die $l_{k}$ an den Stellen $x_{i}$ annimmt: Zunächst hat man $l_{k} (x_{k}) = 1$ , denn in diesem Fall stimmen Zähler und Nenner überein. Für $i \neq k$ tritt im Zähler der Faktor $x_{i} - x_{i}$ auf, also ist hier $l_{k} (x_{i}) = 0$ . Für das Polynom

p ≔ \sum_{k = 0}^{n} y_{k} l_{k}

gilt daher $p (x_{i}) = y_{i} l_{i} (x_{i}) = y_{i}$ . Schließlich ist der Grad von p höchstens gleich n.

Diese konstruktive Methode hat Lagrange 1795

veröffentlicht. Obwohl diese Methode mit seinem Namen vebunden ist, ist er möglicherweise nicht ihr Urheber, denn der englische Mathematiker Woring publizierte das Verfahren bereits im Jahr 1779

Wir üben das Lagrangeverfahren in

ℙ (ℝ)

an einigen Beispielen. Die Beispielseite enthält außerdem ein Formular, das Interpolationspolynome zu beliebigen Stützpunkten erstellt.

Das folgende Applet, mit dem reelle Polynome (bis zum Grad 7) skizziert werden können, macht die Vielgestaltigkeit dieser Funktionengruppe deutlich.