4.4. Das Rechnen mit Funktionen

Wir betrachten in diesem Abschnitt ausschließlich reellwertige Funktionen. Da man mit ihren Funktionswerten rechnen kann (es sind ja reelle Zahlen), können wir die Grundrechenarten auf diese Funktionen zu übertragen, d.h. wir können zwei Funktionen f und g jeweils eine Summe, eine Differenz, ein Produkt und einen Quotienten zuordnen. Achtet man darauf, dass bei einem gegebenen x die Werte

f (x)

und

g (x)

simultan vorliegen, so ergibt sich die folgende Definition nahezu von selbst.

Definition: Sind $f : A \to ℝ$ und $g : B \to ℝ$ zwei reellwertige Funktionen, so heißt die Funktion

$f + g : A \cap B \to ℝ$ gegeben durch

$f + g (x) ≔ f (x) + g (x)$

die Summe von f und g.
$f - g : A \cap B \to ℝ$ gegeben durch

$f - g (x) ≔ f (x) - g (x)$

die Differenz von f und g.
$f \cdot g : A \cap B \to ℝ$ gegeben durch

$f \cdot g (x) ≔ f (x) \cdot g (x)$

das Produkt von f und g.
$\frac{f}{g} : {x \in A \cap B | g (x) \neq 0} \to ℝ$ gegeben durch

$\frac{f}{g} (x) ≔ \frac{f (x)}{g (x)}$

der Quotient von f und g.

[4.4.1]

Beachte:

Die Namen der Ergebnisfunktionen sind in Analogie zu den entsprechenden Namen bei Zahlenrechnungen gebildet. So wie dort ist z.B. $f + g$ als Name für eine Funktion zu betrachten. Damit legen wir gleichzeitig eine Prioritätenregel fest: Die Rechenarten binden stärker als die Bildung des Funktionswerts. $f + g (a)$ steht also für $(f + g) (a)$ , während $f + (g (a))$ die Summe von f und der konstanten Funktion $g (a)$ darstellt.
Alle Ergebnisfunktionen haben wieder den Bildbereich $ℝ$ .
Der Definitionsbereich ist maximale Bereich, in dem sowohl $f (x)$ wie auch $g (x)$ gebildet werden können. In aller Regel ist der neue Definitionsbereich kleiner als die beiden alten. Ist allerdings $A = B$ , sind also f und g auf derselben Menge definiert, so ist - einmal abgesehen vom Quotienten - die Ergebnisfunktion wieder auf A erklärt.
Der Definitionsbereich eines Quotienten ist so konstruiert, dass bei der Ausführung der Funktionsvorschrift eine Division durch Null nicht vorkommen kann.
Ist $A \cap B = \emptyset$ , so ist die Ergebnisfunktion die leere Funktion von $\emptyset$ nach $ℝ$ .
Die Definition [4.4.1] gilt in identischer Formulierung auch für Funktionen mit Werten in einem beliebigen Körper K, also z.B. auch für die komplexwertigen Funktionen. Summe, Differenz und das Produkt mit einer konstanten K-wertigen Funktion (einem Skalar) lassen sich auch für vektorwertige Funktionen bilden.

Die in diesem Abschnitt bewiesenen Eigenschaften und Rechenregeln gelten, sofern übertragbar, auch in diesen Fällen.

Beispiel: Man beachte im Folgenden, dass der jeweilige Funktionsname stets die Funktionsvorschrift widerspiegelt.

$X^{2} + X : ℝ \cap ℝ = ℝ \to ℝ$ und

$X^{2} + X (x) = X^{2} (x) + X (x) = x^{2} + x$ .
$X^{2} - 5 X + 6 : ℝ \cap ℝ \cap ℝ \cap ℝ = ℝ \to ℝ$ und

$X^{2} - 5 X + 6 (x) = X^{2} (x) - 5 (x) X (x) + 6 (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .
$\frac{1}{X} \cdot X^{3} : ℝ^{\neq 0} \cap ℝ = ℝ^{\neq 0} \to ℝ$ und

$\frac{1}{X} \cdot X^{3} (x) = \frac{1}{X} (x) \cdot X^{3} (x) = \frac{1}{x} \cdot x^{3} = x^{2}$ .

Hier ist Vorsicht geboten: Auch wenn es die ausgerechnete Funktionsvorschrift nahelegt, wegen der unterschiedlichen Definitionsbereiche ist $\frac{1}{X} \cdot X^{3} \neq X^{2}$ !
$\frac{1}{X} \cdot \sqrt{X} : ℝ^{\neq 0} \cap ℝ^{\geq 0} = ℝ^{> 0} \to ℝ$ und

$\frac{1}{X} \cdot \sqrt{X} (x) = \frac{1}{X} (x) \cdot \sqrt{X} (x) = \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
$\frac{X}{X^{2} - 5 X + 6} : {x \in ℝ \cap ℝ | x^{2} - 5 x + 6 \neq 0} = ℝ \ {2,3} \to ℝ$ und

$\frac{X}{X^{2} - 5 X + 6} (x) = \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$ .
$\frac{\sin}{1 - H} : {x \in ℝ \cap ℝ \cap ℝ | 1 - H (x) \neq 0} = {x \in ℝ | H (x) \neq 1} = ℝ^{< 0} \to ℝ$ und

$\frac{\sin}{1 - H} (x) = \frac{\sin x}{1 - H (x)} = \frac{\sin x}{1 - 0} = \sin x$ .
$\tan = \frac{\sin}{\cos}$ und $\cot = \frac{\cos}{\sin}$ .

In Beispielfällen kann man die Herstellung der Ergebnisfunktion auch optisch verfolgen. Gute Möglichkeiten bestehen dabei aber nur für die Addition und Subtraktion. In der rechts stehenden Skizze ist Additon $(X^{2} + 1) + X$ graphisch durchgeführt worden. Da an jeder Stelle der neue Funktionswert die Summe der beiden alten ist, muss also jeder y-Wert von $X^{2} + 1$ um den entsprechenden y-Wert von X angehoben bzw. abgesenkt werden.

Da das Rechnen mit Funktionen konsequent auf das Rechnen mit Zahlen zurückgeführt ist, kann man erwarten, dass das neue Rechnen die alten Gesetze erfüllt. Das ist auch nahezu uneingeschränkt der Fall. Abweichungen haben ihre Ursache fast immer in nicht passenden Definitionsbereichen.

Es ist üblich, auch die schreibtechnischen Vereinbarungen zur Einsparung von Klammern zu übernehmen: Multiplikation und Division binden stärker als Addition und Subtraktion.

Bemerkung:

Addition und Multiplikation sind kommutativ, d.h.
$f + g = g + f$ und $f \cdot g = g \cdot f$ .

[4.4.2]

Addition und Multiplikation sind assoziativ, d.h.
$(f + g) + h = f + (g + h)$ und $(f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h)$ .

[4.4.3]

Multiplikation und Division verhalten sich distributiv zur Addition und zur Subtraktion, d.h.
$f \cdot (g + h) = f \cdot g + f \cdot h$ und $f \cdot (g - h) = f \cdot g - f \cdot h$

$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h}$ und $\frac{f - g}{h} = \frac{f}{h} - \frac{g}{h}$ .

[4.4.4]

Beweis: Alle Beweise sind einander sehr ähnlich, so dass wir beispielhaft nur eine dieser Aussagen zeigen, etwa die Distributivität der Multiplikation: Dazu müssen wir für beliebige Funktionen

f : A \to ℝ

g : B \to ℝ

und

h : C \to ℝ

zeigen: $f \cdot (g + h)$ und $f \cdot g + f \cdot h$ besitzen

denselben Bildbereich. Das trifft aber zu, denn beide Funktionen haben den Bildbereich $ℝ$ .
denselben Definitionsbereich. Dies ist ein Ergbnis aus der Mengenlehre, denn die Rechenregeln für den Schnitt garantieren dass

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap (A \cap C)$ .
diesselbe Funktionsvorschrift. Ist $A \cap B \cap C = \emptyset$ , so ist nichts zu zeigen. Anderenfalls hat man mit dem Distributivgesetz in $ℝ$ für jedes $x \in A \cap B \cap C$ :

$\begin{array}{l} f \cdot (g + h) (x) & = f (x) \cdot (g + h) (x) \\ = f (x) \cdot (g (x) + h (x)) \\ = f (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot h (x) \\ = f \cdot g (x) + f \cdot h (x) \\ = f \cdot g + f \cdot h (x) . \end{array}$

Nach wie vor gilt auch bei Funktionen: Subtraktion und Division sind nicht kommutativ und nicht assoziativ. Beispiele mit konstanten Funktionen etwa belegen dies sehr schnell. Ferner lassen sich auch hier Subtraktion und Division auf $+$ und $\cdot$ zurückführen.

Bemerkung: Setzt man für $g : B \to ℝ$

die Gegenfunktion $- g : B \to ℝ$ fest durch $- g (x) ≔ - (g (x))$ und
den Kehrwert $\frac{1}{g} : {x \in B | g (x) \neq 0} \to ℝ$ fest durch $\frac{1}{g} (x) ≔ \frac{1}{g (x)}$ ,

so gilt

$f - g = f + (- g)$

[4.4.5]

$\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$

[4.4.6]

Beweis: Wir zeigen wieder nur eine Aussage. $f - g$ und $f + (- g)$ sind zwei Funktionen von $A \cap B \to ℝ$ und falls $A \cap B \neq \emptyset$ , hat man für alle $x \in A \cap B$ :

f - g (x) = f (x) - g (x) = f (x) + (- g (x)) = f (x) + (- g) (x) = f + (- g) (x)

Die Rolle der Zahlen 0 und 1 übernehmen jetzt die konstanten Funktionen $0_{A}$ und $1_{A}$ .

Bemerkung: Ist $f : A \to ℝ$ irgendeine Funktion, so gilt für die konstanten Funktionen $0_{A}$ und $1_{A}$ :

$0_{A} + f = f$	[4.4.7]
$0_{A} \cdot f = 0_{A}$	[4.4.8]
$1_{A} \cdot f = f$	[4.4.9]
$(- 1_{A}) \cdot f = - f$	[4.4.10]

Beweis: Wir zeigen beispielhaft die erste Aussage: f und $0_{A} + f$ sind zwei Funktionen von $A \to ℝ$ und falls $A \neq \emptyset$ , hat man für jedes $x \in A$ :

0_{A} + f (x) = 0_{A} (x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x)

Die bis jetzt notierten Rechenregeln bescheinigen den vier Grundrechenarten eine hohe algebraische Qualität. Damit erweist sich die Menge aller reellwertigen (K-wertigen) Funktionen auf einer Menge A - wir bezeichnen sie mit dem Symbol $𝔽 (A)$ - als Trägermenge verschiedener algebraischer Strukturen:

$(𝔽 (A), +)$ ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist
- $0_{A}$ das neutrale Element (siehe [4.4.7]).
- $- f$ das inverse Element zu f, denn für $x \in A$ ist $f + (- f) (x) = f (x) + (- f (x)) = 0 = 0_{A} (x)$ .
- Die Subtraktion ist die zur Addition adjungierte Operation (siehe [4.4.5]).
$(𝔽 (A), +, \cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit 1.

$1_{A}$ ist dabei das Einselement (siehe [4.4.9]).
Da der Kehrwert einer Funktion oft einen reduzierten Definitionsbereich hat, also nicht zu $𝔽 (A)$ gehört, ist $(𝔽 (A), +, \cdot)$ in der Regel kein Körper. Auch kann man die Division formal nicht als adjungierte Operation der Multiplikation auffassen, auch wenn sie in [4.4.6] genau so dargestellt wird.

Versteht man unter $𝔽 (A)$ die Menge aller vektorwertigen Funktionen auf A und reduziert man die Multiplikation auf Produkte der Form $c_{ℝ} \cdot f$ (bzw. $c_{K} \cdot f$ ), so ist $(𝔽 (A), +, \cdot)$ ein reeller Vektorraum (K-Vektorraum).

Wir notieren weitere Rechenregeln, zunächst die Rechenregeln für Brüche. Bei der Division ist allerdings Vorsicht geboten, denn die entsprechende Regel - wie auch die Kürzungsregel - läßt sich nicht uneingeschränkt übertragen. So ist z.B.

\frac{\frac{X}{2}}{\frac{X}{X^{2} - 1}} \neq \frac{X \cdot (X^{2} - 1)}{2 \cdot X} \neq \frac{X^{2} - 1}{2}

da die drei Definitionsbereiche, $ℝ^{\neq 0, \pm 1}$ , $ℝ^{\neq 0}$ und $ℝ$ verschieden sind.

Bemerkung (Rechenregeln für Brüche):

$\frac{f}{r} + \frac{g}{s} = \frac{f \cdot s + g \cdot r}{r \cdot s}$	[4.4.11]
$\frac{f}{r} - \frac{g}{s} = \frac{f \cdot s - g \cdot r}{r \cdot s}$	[4.4.12]
$\frac{f}{r} \cdot \frac{g}{s} = \frac{f \cdot g}{r \cdot s}$	[4.4.13]

Beweis: Wir zeigen nur die dritte Regel. Haben die Funktionen f, g, r und s der Reihe nach die Mengen A, B, C und D als Definitionsbereich, so ergibt sich der Definitionsbereich von $\frac{f}{r} \cdot \frac{g}{s}$ zu

\begin{array}{l} {x \in A \cap C | r (x) \neq 0} \cap {x \in B \cap D | s (x) \neq 0} \\ = & {x \in A \cap C \cap B \cap D | r (x) \neq 0 \land s (x) \neq 0} \\ = & {x \in A \cap C \cap B \cap D | r (x) \cdot s (x) \neq 0} \end{array}

Man beachte bei der letzten Umformung: ein Produkt ist genau dann ungleich 0, wenn beide Faktoren ungleich 0 sind! Damit liegt aber genau der Definitionsbereich von $\frac{f \cdot g}{r \cdot s}$ vor, nämlich die Menge

{x \in (A \cap C) \cap (B \cap D) | r \cdot s (x) \neq 0}

Beide Funktionen haben also einen gemeinsamen Definitionsbereich. Ist dieser nicht-leer, so folgt die Gleichheit der Funktionswerte direkt mit der entsprechenden Regel für Bruchzahlen:

\frac{f}{r} \cdot \frac{g}{s} (x) = \frac{f (x)}{r (x)} \cdot \frac{g (x)}{s (x)} = \frac{f (x) \cdot g (x)}{r (x) \cdot s (x)} = \frac{f \cdot g}{r \cdot s} (x)

Mit Hilfe der Multiplikation führen wir nun in üblicher Weise die Potenzen ein.

Definition und Bemerkung: Ist $f : A \to ℝ$ irgendeine Funktion, so setzen wir für $n \in ℤ$ die n-te Potenz von f fest durch

f^{n} ≔ {\begin{array}{l} \underset{n - m a l}{\underset{︸}{f \cdot \dots \cdot f}} & falls n > 0 \\ 1_{A} & falls n = 0 \\ \frac{1}{f^{- n}} & falls n < 0 \end{array}

[4.4.14]

Wir verzichten im Fall $n < 0$ auf die übliche Forderung $f \neq 0_{A}$ , denn $\frac{1}{{0_{A}}^{n}}$ ist hier, anders als bei Zahlen, ein wohldefiniertes Objekt, nämlich die leere Funktion. Man beachte außerdem:

Ist $n \geq 0$ , so hat $f^{n}$ denselben Definitionsbereich wie f: $f^{n} : A \to ℝ$ .
Ist $n < 0$ , so ist der Bereich möglicherweise eingeschränkt: $f^{n} : {x \in A | f (x) \neq 0} \to ℝ$ .

Die Funktionswerte von $f^{n}$ sind leicht zu ermitteln, denn es müssen nur die Funktionswerte von f potenziert werden:

f^{n} (x) = {(f (x))}^{n}

[4.4.15]

Damit sind die in Abschnitt 2 eingeführten Funktionen $X^{n}$ genau die Potenzen von X! Auch bekommt die in Teil 3 benutzte Abkürzung $\sin^{2} (x) = {(\sin (x))}^{2}$ jetzt einen inhaltlichen Hintergrund. Nun zum Beweis, den wir per Fallunterscheidung führen:

$n > 0$ : $f^{n} (x) = \underset{n - m a l}{\underset{︸}{f \cdot \dots \cdot f}} (x) = \underset{n - m a l}{\underset{︸}{f (x) \cdot \dots \cdot f (x)}} = {(f (x))}^{n}$ .
$n = 0$ : $f^{0} (x) = 1_{A} (x) = 1 = {(f (x))}^{0}$ .
$n < 0$ : $f^{n} (x) = \frac{1}{f^{- n} (x)} \underset{\begin{matrix} n a c h 1. \\ - n > 0! \end{matrix}}{\underset{︸}{=}} \frac{1}{{(f (x))}^{- n}} = {(f (x))}^{n}$ .

Die Potenzgesetze sind für ganzzahlige Exponenten nicht in vollem Umfang übertragbar. Die wenigsten Einschränkungen hat man bei natürlichen Exponenten.

Bemerkung (Potenzgesetze): Seien $f : A \to ℝ$ und $g : B \to ℝ$ zwei beliebige Funktionen. Dann gilt für $n, m \in ℕ$ :

$f^{n} \cdot g^{n} = {(f \cdot g)}^{n}$ und $\frac{f^{n}}{g^{n}} = (\frac{f}{g})^{n}$ .	[4.4.16]
$f^{n} \cdot f^{m} = f^{n + m}$ .	[4.4.17]
$(f^{n})^{m} = f^{n \cdot m}$ .	[4.4.18]

Beweis: Die Gleichheit der Funktionswerte ergibt sich mit [4.4.15] in allen Fällen aus den Potenzgesetzen für Zahlen. Es bleibt, die Gleichheit der Definitionsbereiche sicherzustellen. In 2. und 3. ist dies stets die Menge A, in 1. jeweils die Menge $A \cap B$ bzw. ${x \in A \cap B | g (x) \neq 0}$ .

Beachte:

Kritisch für die Übertragbarkeit der Potenzgesetze auf Funktionen sind nicht die Funktionswerte, denn hier gelten die Potenzgesetze für Zahlen, sondern ihre Definitionsbereiche. Dazu im Einzelnen:

[4.4.16] bleibt auch für negative n gültig, denn hier ist Gleichheit der Definitionsbereich auch jetzt gewährleistet (etwa für die multiplikative Version, beachte: $f^{- n} (x) \neq 0 \Leftrightarrow f (x) \neq 0$ ):

${x \in A | f (x) \neq 0} \cap {x \in B | g (x) \neq 0} = {x \in A \cap B | f \cdot g (x) \neq 0}$ .
[4.4.17] Gilt i.a. nicht für negative Exponenten. So ist z.B. $X^{5} \cdot X^{- 2} \neq X^{3}$ , denn die beiden Definitionsbereiche $ℝ^{\neq 0}$ und $ℝ$ sind verschieden. Dieses Beispiel zeigt auch, dass eine Quotientenversion von [4.4.17] nicht uneingeschränkt gelten kann.
[4.4.18] ist ebenfalls nur für positive n gültig: $(X^{- 2})^{- 3} \neq X^{6}$ .

Die binomischen Formeln und das allgemeine Binomialtheorem [5.2.5] stehen uns als Folgerung aus dem Distributivgesetz allerdings vollständig zur Verfügung.

Bemerkung: Für zwei Funktionen $f : A \to ℝ$ und $g : B \to ℝ$ und beliebigem $n \in ℕ$ gilt:

${(f + g)}^{2} = f^{2} + 2 f g + g^{2}$	[4.4.19]
${(f - g)}^{2} = f^{2} - 2 f g + g^{2}$	[4.4.20]
$(f + g) (f - g) = f^{2} - g^{2}$	[4.4.21]
${(f + g)}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}) f^{n - i} g^{i}$	[4.4.22]

Beweis: $A \cap B$ ist der gemeinsame Definitionsbereich aller hier auftretenden Funktionen. Daher sind alle benötigten Gleichheiten gegeben. Die Übereinstimmung der jeweiligen Funktionswerte wird durch die entsprechenden Rechengesetze in $ℝ$ geregelt.

Wir kehren noch einmal zu den in Teil 2 angesprochenen Treppenfunktionen zurück. Jetzt zeigt sich nämlich, dass die Heaviside-Funktion (siehe [4.2.13]) jede Treppenfunktion erzeugen kann. Dazu verschaffen wir uns zunächst Varianten der Heavisidefunktion, die Ihren Sprung an einer vorgegebenen Stelle haben.

Bezeichnung und Bemerkung: Für eine beliebiges $a \in ℝ$ setzen wir die Funktionen $H_{a} : ℝ \to ℝ$ und ${}_{a}H : ℝ \to ℝ$ fest durch

\begin{array}{l} H_{a} (x) ≔ H (x - a) = {\begin{array}{l} 1, falls x \geq a \\ 0, falls x < a \end{array} \\ {}_{a}H (x) ≔ 1 - H (a - x) = {\begin{array}{l} 1, falls x > a \\ 0, falls x \leq a \end{array} \end{array}

[4.4.23]

Diesen beiden Funktionen erzeugen nun die Indikatorfunktionen zu allen Intervallen, denn für $a < b$ ist

$χ_{] a, b]} = {}_{a}H - {}_{b}H$
$χ_{] a, b [} = {}_{a}H - H_{b}$
$χ_{[a, b]} = H_{a} - {}_{b}H$
$χ_{[a, b [} = H_{a} - H_{b}$

Beweis: Wir zeigen etwa die dritte Aussage und betrachten dazu drei Fälle:

$x < a$ : Dann ist erst recht $x < b$ und damit: $H_{a} - {}_{b}H (x) = H_{a} (x) - {}_{b}H (x) = 0 - 0 = 0$ .
$a \leq x \leq b$ : Hier haben wir: $H_{a} - {}_{b}H (x) = H_{a} (x) - {}_{b}H (x) = 1 - 0 = 1$ .
$b < x$ : Also ist auch $a < x$ , so dass $H_{a} - {}_{b}H (x) = H_{a} (x) - {}_{b}H (x) = 1 - 1 = 0$ .

Man hat also insgesamt: $H_{a} - {}_{b}H (x) = χ_{[a, b]} (x)$ .

Durch Multiplizieren mit geeigneten Faktoren und anschließendes Aufsummieren entstehen jetzt beliebige Treppenfunktionen, so ist etwa die in der Skizze dargestellte Funktion durch die Summe

- 3 χ_{] - 2, - 1]} + χ_{] - 1,1]} + 4 χ_{] 1,5]}

gegeben. Sogar Treppenfunktionen mit unendlich vielen Stufen, wie etwa die Gauß-Funktion, sind darstellbar:

[X] = \sum_{n \in ℤ} n χ_{[n, n + 1 [}

Man beachte, dass hier keine unendliche Summe gebildet wird, denn ein beliebiges $x \in ℝ$ fällt in genau ein Intervall der Form $[n, n + 1 [$ !

4.3. 4.5.