9.8. Matrizen

Matrizen sind ein sehr praktisches Hilfsmittel zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Im nächsten Abschnitt wird dies ausführlich dargestellt. Gleichzeitig aber sind Matrizen auch als Funktionen eines bestimmten Typs einsetzbar. Diese Doppelgesichtigkeit spiegelt die innere Verwandtschaft dieser beiden Themen.

In diesem Teil wird zunächst der Funktionenaspekt betont.

Matrizen sind (hier) an den ${\displaystyle {ℝ}^n}$ gebunden. Über das Basiskonzept ist eine Ausweitung auf endliche (!) Vektorräume möglich. Wir gehen darauf nicht ein.
 

Definition:  Ein rechteckiges Zahlenschema der Form ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right)}$ nennen wir eine ${\displaystyle \underset{¯}{n\times m\text{- Matrix}}}$ (über ${\displaystyle ℝ}$). Ist ${\displaystyle n=m}$, sprechen wir von einer quadratischen Matrix.

Beachte:

• Eine Matrix kann man als ein ungewöhnlich notiertes Element des ${\displaystyle {ℝ}^{n\cdot m}}$ auffassen. Dabei ist die zweidimensionale Indizierung der Matrixeintragungen der flächenhaften Anordnung gut angepaßt. Matrizen kürzen wir meist in der Form ${\displaystyle (a_{ij})}$ oder genauer ${\displaystyle {(a_{ij})}_{\begin{array}{l}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\end{array}}}$ ab. Dabei nennen wir i den Zeilenindex und  j den Spaltenindex der Matrix.

• Zwei weitere Lesarten einer Matrix sind nützlich:
  1. Fasst man die Spalten einer Matrix als Vektoren des ${\displaystyle {ℝ}^n}$ auf, so ist eine Matrix eine nach rechts geschriebene Liste vom m Vektoren des ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Soll diese Sichtweise hervorgehoben werden, schreiben wir:
     ${\displaystyle (a_{ij})=({\mathit{a}}_{•1}\dots {\mathit{a}}_{•m})}$

     und nennen ${\displaystyle {\mathit{a}}_{•j}}$ den  j-ten Spaltenvektor von ${\displaystyle (a_{ij})}$.

  2. Ähnlich kann man eine Matrix auch als eine nach unten geschriebene Liste von n Zeilen auffassen:

     ${\displaystyle (a_{ij})=\left(\begin{array}{c}{\mathit{a}}_{1•}\\ ⋮\\ {\mathit{a}}_{n•}\end{array}\right)}$.

     ${\displaystyle {\mathit{a}}_{i•}\in {ℝ}^m}$ ist dann der i-te Zeilenvektor von ${\displaystyle (a_{ij})}$.

 

Beispiel: ${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2& 0& -3& 2\\ 1& 2& 0& 0\\ -2& 2& 4& 1\end{array}\right)}$ ist eine 3 × 4 - Matrix.   ${\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}2& 13& -4& 0& 3.5& 0.2\end{array}\right)}$ ist eine 1 × 6 - Matrix.   ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)}$ ist eine 2 × 1 - Matrix.

Zwei wichtige Beispiele quadratischer Matrizen zeichnen wir durch einen Namen aus:

Beispiel: Die Matrix ${\displaystyle E={({\delta }_{ij})}_{1\le i,j\le n}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right)}$ ist die Einheitsmatrix (des ${\displaystyle {ℝ}^n}$). Sowohl die Spalten- wie auch Zeilenvektoren bilden hier jeweils die Standardbasis des ${\displaystyle {ℝ}^n}$: ${\displaystyle ({\delta }_{ij})=({\mathit{e}}_1\dots {\mathit{e}}_n)=\left(\begin{array}{c}{\mathit{e}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{e}}_n\end{array}\right)}$. Die Matrix ${\displaystyle \mathbf{0}={(0)}_{1\le i,j\le n}=\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right)}$ ist die Nullmatrix (des ${\displaystyle {ℝ}^n}$). Jeder Zeilen- und Spaltenvektoren ist hier der Nullvektor: ${\displaystyle (0)=(\mathbf{0}\cdots \mathbf{0})=\left(\begin{array}{c}\mathbf{0}\\ ⋮\\ \mathbf{0}\end{array}\right)}$.

Bei der folgenden Konstruktion treten die Spaltenvektoren einer Matrix in den Vordergrund.

Definition: ${\displaystyle (a_{ij})}$ sei eine ${\displaystyle n\times m\text{- Matrix}}$. Für einen beliebigen Vektor ${\displaystyle \mathit{x}\in {ℝ}^m}$ setzen wir: ${\displaystyle (a_{ij})\mathit{x}=\sum _{j=1}^m{x}_j{\mathit{a}}_{•j}=x_1{\mathit{a}}_{•1}+\dots +x_m{\mathit{a}}_{•m}\in {ℝ}^n}$ Der Vektor ${\displaystyle (a_{ij})\mathit{x}}$ (gelesen: "${\displaystyle (a_{ij})}$ mal x") ist also eine Linearkombination der Spaltenvektoren von ${\displaystyle (a_{ij})}$, wobei die Koordinaten des Vektors x den Koeffizientensatz liefern. Die gerade eingeführte Methode ordnet jedem Vektor ${\displaystyle x\in {ℝ}^m}$ genau einen Ergebnisvektor ${\displaystyle (a_{ij})x\in {ℝ}^n}$ zu! Wir können daher eine ${\displaystyle n\times m\text{- Matrix}}$ auch auffassen als eine Funktion von ${\displaystyle {ℝ}^m}$ nach ${\displaystyle {ℝ}^n}$: ${\displaystyle (a_{ij}):{ℝ}^m\to {ℝ}^n}$. Unter diesem Gesichtspunkt, nennen wir den Vektor ${\displaystyle (a_{ij})\mathit{x}}$ auch einen Bildvektor (dann gelesen: "${\displaystyle (a_{ij})}$ von x"), der durch Anwenden der Matrix ${\displaystyle (a_{ij})}$ einstanden sei.

 

Beispiel:  ${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2& 0& -3& 2\\ 1& 2& 0& 0\\ -2& 2& 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right)=0\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 4\\ 3\end{array}\right)}$.   ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ 12\\ 12\end{array}\right)}$.   ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1\end{array}\right)}$.

 

Bemerkung: ${\displaystyle (a_{ij})}$ sei eine beliebige ${\displaystyle n\times m\text{- Matrix}}$, ${\displaystyle (0)}$ die Nullmatrix und ${\displaystyle ({\delta }_{ij})}$ die Einheitsmatrix des ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Dann gilt: ${\displaystyle (a_{ij})\mathbf{0}=\mathbf{0}}$. ${\displaystyle (0)\mathit{x}=\mathbf{0}}$. ${\displaystyle ({\delta }_{ij})\mathit{x}=\mathit{x}}$. Beweis:  ${\displaystyle (a_{ij})\mathbf{0}=0\cdot a_{•1}+\dots +0\cdot a_{•m}=\mathbf{0}}$.   ${\displaystyle (0)\mathit{x}=x_1\cdot \mathbf{0}+\dots +x_n\cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}}$.  ${\displaystyle ({\delta }_{ij})\mathit{x}=x_1\cdot {\mathit{e}}_1+\dots +x_n\cdot {\mathit{e}}_n=\mathit{x}}$.

Die beiden letzten Beispiele sind unter dem Funktionengesichtspunkt interessant:
Offensichtlich stellt die Nullmatrix die Nullfunktion des ${\displaystyle {ℝ}^n}$ und die Einheitsmatrix die Identität des ${\displaystyle {ℝ}^n}$ dar!

Die Matrixanwendung ist mit den Rechenregeln des ${\displaystyle {ℝ}^m}$ verträglich:

Bemerkung: ${\displaystyle (a_{ij})}$ sei eine ${\displaystyle n\times m\text{- Matrix}}$, ${\displaystyle \mathit{x},\mathit{y}\in {ℝ}^m}$ und ${\displaystyle \alpha \in ℝ}$. Dann gilt: ${\displaystyle (a_{ij})(\alpha \mathit{x})=\alpha ((a_{ij})\mathit{x})}$ ${\displaystyle (a_{ij})(\mathit{x}+\mathit{y})=(a_{ij})\mathit{x}+(a_{ij})\mathit{y}}$ Beweis: Zu 1.: ${\displaystyle (a_{ij})(\alpha \mathit{x})=(\alpha x_1)\cdot {\mathit{a}}_{•1}+\dots +(\alpha x_m)\cdot {\mathit{a}}_{•m}=\alpha (x_1\cdot {\mathit{a}}_{•1}+\dots +x_m\cdot {\mathit{a}}_{•m})=\alpha ((a_{ij})\mathit{x})}$. Zu 2.:  ${\displaystyle \begin{array}{ll}(a_{ij})(\mathit{x}+\mathit{y})\hfill & =(x_1+y_1)\cdot {\mathit{a}}_{•1}+\dots +(x_m+y_m)\cdot {\mathit{a}}_{•m}\hfill \\ \hfill & =x_1\cdot {\mathit{a}}_{•1}+\dots +x_m\cdot {\mathit{a}}_{•m}+y_1\cdot {\mathit{a}}_{•1}+\dots +y_m\cdot {\mathit{a}}_{•m}\hfill \\ \hfill & =(a_{ij})\mathit{x}+(a_{ij})\mathit{y}\text{.}\hfill \end{array}}$

Die folgende Begriffsbildung betont den Funktionencharakter von Matrizen.

Definition: ${\displaystyle (a_{ij})}$ sei eine ${\displaystyle n\times m\text{- Matrix}}$, dann heißt die Menge ${\displaystyle Ker(a_{ij})=\{\mathit{x}\in {ℝ}^m|(a_{ij})\mathit{x}=\mathbf{0}\}\subset {ℝ}^m}$ der Kern von ${\displaystyle (a_{ij})}$. ${\displaystyle \mathit{Im}(a_{ij})=\{(a_{ij})\mathit{x}|\mathit{x}\in {ℝ}^m\}\subset {ℝ}^n}$ das Bild von ${\displaystyle (a_{ij})}$.

Beachte:

• Der Kern einer Matrix besteht aus allen Vektoren, die von der Matrix annulliert werden.

• Das Bild einer Matrix ist die Menge aller auftretender Ergebnisvektoren. Die folgende Äquivalenz ist oft nützlich; sie drückt aus, dass ein Vektor nur dann zum Bild gehört, wenn er wie ein Bildvektor aussieht: 
  ${\displaystyle \mathit{y}\in \mathit{Im}(a_{ij})\iff \text{es gibt ein}\mathit{x}\in {ℝ}^m\text{mit}\mathit{y}=(a_{ij})\mathit{x}}$.

 

Bemerkung:  ${\displaystyle Ker(a_{ij})}$ ist ein Untervektorraum von ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Beweis: Da ${\displaystyle (a_{ij})\mathbf{0}=\mathbf{0}}$, ist ${\displaystyle \mathbf{0}\in Ker(a_{ij})}$, also ${\displaystyle Ker(a_{ij})\ne \varnothing }$.   Sei ${\displaystyle \mathit{x}\in Ker(a_{ij})}$ und ${\displaystyle \alpha \in ℝ}$, dann ist: ${\displaystyle (a_{ij})(\alpha \mathit{x})=\alpha ((a_{ij})\mathit{x})=\alpha \mathbf{0}=\mathbf{0}\Rightarrow \alpha \mathit{x}\in Ker(a_{ij})}$.   Für ${\displaystyle \mathit{x},\mathit{y}\in Ker(a_{ij})}$ hat man: ${\displaystyle (a_{ij})(\mathit{x}+\mathit{y})=(a_{ij})\mathit{x}+(a_{ij})\mathit{y}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathit{x}+\mathit{y}\in Ker(a_{ij})}$.

 

Bemerkung:  ${\displaystyle \mathit{Im}(a_{ij})}$ ist ein Untervektorraum von ${\displaystyle {ℝ}^m}$. Es gilt sogar: ${\displaystyle \mathit{Im}(a_{ij})=<a_{•1},\dots ,a_{•m}>}$, d.h. ${\displaystyle \mathit{Im}(a_{ij})}$ ist das Erzeugnis der Spaltenvektoren der Matrix ${\displaystyle (a_{ij})}$.  Beweis: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\mathit{y}\in \mathit{Im}(a_{ij})\hfill & \iff \text{es gibt ein}\mathit{x}\in {ℝ}^m\text{mit}\mathit{y}=(a_{ij})\mathit{x}\hfill \\ \hfill & \iff \text{es gibt ein}\mathit{x}\in {ℝ}^m\text{mit}\mathit{y}=x_1\cdot {\mathit{a}}_{•1}+\dots +x_m\cdot {\mathit{a}}_{•m}\hfill \\ \hfill & \iff \mathit{y}\in <{\mathit{a}}_{•1},\dots ,{\mathit{a}}_{•m}>\text{.}\hfill \end{array}}$

Mit Hilfe der Begriffe Bild und Kern lassen sich neue Kriterien zur Maximalität bzw. zur linearen Unabhängigkeit formulieren:

Bemerkung:  Für Vektoren ${\displaystyle {\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_m\in {ℝ}^n}$ gilt: ${\displaystyle {\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_m\text{maximal}\iff \mathit{Im}({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)={ℝ}^n}$. ${\displaystyle {\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_m\text{linear unabhängig}\iff Ker({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)=\{\mathbf{0}\}}$. Beweis: Zu 1.: Wegen ${\displaystyle \mathit{Im}({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)=<{\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_m>}$, ist hier nichts zu zeigen. Zu 2.:  "${\displaystyle \Rightarrow }$" Da ${\displaystyle ({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)\mathbf{0}=\mathbf{0}}$, hat man bereits: ${\displaystyle Ker({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)\supset \{\mathbf{0}\}}$. Sei nun ${\displaystyle \mathit{x}\in Ker({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)}$, also: ${\displaystyle x_1{\mathit{v}}_1+\dots +x_m{\mathit{v}}_m=({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)\mathit{x}=\mathbf{0}}$. Da ${\displaystyle {\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_m}$ linear unabhängig, folgt: ${\displaystyle x_i=0}$ für alle i, d.h. ${\displaystyle \mathit{x}=\mathbf{0}}$. Also gilt auch: ${\displaystyle Ker({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)\subset \{\mathbf{0}\}}$. "${\displaystyle \Leftarrow }$" Sei jetzt ${\displaystyle x_1{\mathit{v}}_1+\dots +x_m{\mathit{v}}_m=({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)\mathit{x}=\mathbf{0}}$, d.h. ${\displaystyle \mathit{x}\in Ker({\mathit{v}}_1\dots {\mathit{v}}_m)=\{\mathbf{0}\}}$. Folgt: ${\displaystyle \mathit{x}=\mathbf{0}}$, also: ${\displaystyle x_i=0}$ für alle i. ${\displaystyle {\mathit{v}}_1,\dots ,{\mathit{v}}_m}$ ist somit linear unabhängig.

Da Matrizen als Elemente des ${\displaystyle {ℝ}^{n\cdot m}}$ aufgefasst werden können, trägt die Menge aller ${\displaystyle n\times m\text{- Matrizen}}$ in natürlicher Weise eine Vektorraumstruktur, nämlich die des ${\displaystyle {ℝ}^{n\cdot m}}$. Die folgende Bemerkung stellt diesen Sachverhalt noch einmal in der matrixtypischen Notation dar.

Bemerkung: Sind ${\displaystyle (a_{ij})}$ und ${\displaystyle (b_{ij})}$ zwei ${\displaystyle n\times m\text{- Matrizen}}$, ${\displaystyle \alpha \in ℝ}$, so setzen wir: ${\displaystyle \begin{array}{l}(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})\hfill \\ \alpha (a_{ij})=(\alpha a_{ij})\hfill \end{array}}$ Die Menge (General Linear Group) ${\displaystyle GL(m,n)=\{(a_{ij})|(a_{ij})\text{ist eine}n\times m\text{- Matrix}\}}$ ist mit den eingeführten Operationen ein Vektorraum. In der Funktionensichtweise entspricht die Matrizenaddition exakt der Funktionenaddition: ${\displaystyle \begin{array}{ll}(a_{ij})+(b_{ij})\mathit{x}\hfill & =(a_{ij}+b_{ij})\mathit{x}\hfill \\ \hfill & =x_1({\mathit{a}}_{•1}+{\mathit{b}}_{•1})+\dots +x_m({\mathit{a}}_{•m}+{\mathit{b}}_{•m})\hfill \\ \hfill & =x_1{\mathit{a}}_{•1}+\dots +x_m{\mathit{a}}_{•m}+x_1{\mathit{b}}_{•1}+\dots +x_m{\mathit{b}}_{•m}\hfill \\ \hfill & =(a_{ij})\mathit{x}+(b_{ij})\mathit{x}\text{.}\hfill \end{array}}$ und die skalare Multiplikation genau der Vervielfachung von Funktionen: ${\displaystyle \begin{array}{ll}\alpha (a_{ij})\mathit{x}\hfill & =(\alpha a_{ij})\mathit{x}\hfill \\ \hfill & =x_1(\alpha {\mathit{a}}_{•1})+\dots +x_m(\alpha {\mathit{a}}_{•m})\hfill \\ \hfill & =\alpha (x_1{\mathit{a}}_{•1}+\dots +x_m{\mathit{a}}_{•m})\hfill \\ \hfill & =\alpha ((a_{ij})\mathit{x})\text{.}\hfill \end{array}}$

9.7

9.9.