Matrizen sind ein sehr praktisches Hilfsmittel zur Lösung linearer
Gleichungssysteme. Im nächsten Abschnitt wird dies ausführlich dargestellt.
Gleichzeitig aber sind Matrizen auch als Funktionen eines bestimmten Typs
einsetzbar. Diese Doppelgesichtigkeit spiegelt die innere Verwandtschaft dieser
beiden Themen.
In diesem Teil wird zunächst der Funktionenaspekt betont.
Matrizen sind (hier) an den gebunden. Über das Basiskonzept ist eine Ausweitung auf endliche (!)
Vektorräume möglich. Wir gehen darauf nicht ein.
Definition: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form
nennen wir eine (über ). Ist , sprechen wir von einer quadratischen
Matrix.
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Beachte:
- Eine Matrix kann man als ein ungewöhnlich notiertes Element des auffassen. Dabei ist die zweidimensionale Indizierung der Matrixeintragungen
der flächenhaften Anordnung gut angepaßt. Matrizen kürzen wir meist in
der Form oder genauer
ab. Dabei nennen wir i
den Zeilenindex und j den Spaltenindex der Matrix.
- Zwei weitere Lesarten einer Matrix sind nützlich:
- Fasst man die Spalten einer Matrix als Vektoren des auf, so ist eine Matrix eine nach rechts geschriebene Liste vom m Vektoren
des . Soll diese Sichtweise hervorgehoben werden, schreiben wir:
und nennen den j-ten
Spaltenvektor von .
Ähnlich kann man eine Matrix auch als eine nach unten geschriebene
Liste von n Zeilen auffassen:
.
ist dann der i-te Zeilenvektor von .
Beispiel:
-
ist eine 3 × 4 - Matrix.
-
ist eine 1 × 6 - Matrix.
-
ist eine 2 × 1 - Matrix.
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Zwei wichtige Beispiele quadratischer Matrizen zeichnen wir durch
einen Namen aus:
Beispiel:
- Die Matrix ist die Einheitsmatrix
(des ).
Sowohl die Spalten- wie auch Zeilenvektoren bilden hier jeweils die Standardbasis des :
.
- Die Matrix ist die Nullmatrix
(des ).
Jeder Zeilen- und Spaltenvektoren ist hier der Nullvektor:
.
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Bei der folgenden Konstruktion treten die Spaltenvektoren einer Matrix
in den Vordergrund.
Definition: sei eine . Für einen beliebigen
Vektor setzen wir:
Der Vektor (gelesen: " mal x") ist also eine
Linearkombination der Spaltenvektoren von , wobei die Koordinaten des Vektors x den Koeffizientensatz liefern.
Die gerade eingeführte Methode ordnet jedem Vektor genau einen Ergebnisvektor zu! Wir können daher eine auch auffassen als eine Funktion von nach :
.
Unter diesem Gesichtspunkt, nennen wir den Vektor auch einen Bildvektor (dann gelesen: " von x"), der durch Anwenden der Matrix einstanden sei.
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Beispiel:
-
.
-
.
-
.
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Bemerkung: sei eine beliebige , die Nullmatrix und die Einheitsmatrix des . Dann gilt:
-
.
-
.
-
.
Beweis:
.
.
.
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Die beiden letzten Beispiele sind unter dem Funktionengesichtspunkt
interessant:
Offensichtlich stellt die Nullmatrix die Nullfunktion des und die Einheitsmatrix die Identität des dar!
Die Matrixanwendung ist mit den Rechenregeln des verträglich:
Bemerkung: sei eine , und . Dann gilt:
-
-
Beweis:
Zu 1.: .
Zu 2.: |
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Die folgende Begriffsbildung betont den Funktionencharakter von Matrizen.
Definition: sei eine , dann heißt die Menge
-
der Kern von .
-
das Bild von .
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Beachte:
- Der Kern einer Matrix besteht aus allen Vektoren, die von der Matrix
annulliert werden.
- Das Bild einer Matrix ist die Menge aller auftretender Ergebnisvektoren. Die folgende Äquivalenz ist oft nützlich;
sie drückt aus, dass ein Vektor nur dann zum Bild gehört, wenn er wie ein
Bildvektor aussieht:
.
Bemerkung: ist ein Untervektorraum von .
Beweis:
- Da , ist , also .
- Sei und , dann ist:
.
-
Für hat man:
.
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Bemerkung:
ist ein Untervektorraum von . Es gilt sogar:
,
d.h. ist das Erzeugnis der Spaltenvektoren der Matrix .
Beweis:
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Mit Hilfe der Begriffe Bild und Kern lassen sich neue Kriterien zur
Maximalität bzw. zur linearen Unabhängigkeit formulieren:
Bemerkung: Für Vektoren gilt:
-
.
-
.
Beweis:
Zu 1.: Wegen , ist hier nichts zu
zeigen.
Zu 2.:
"" Da , hat man bereits:
.
Sei nun , also: .
Da linear unabhängig, folgt: für alle i, d.h. . Also gilt auch:
.
"" Sei jetzt , d.h. .
Folgt: , also: für alle i. ist somit linear
unabhängig.
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Da Matrizen als Elemente des aufgefasst werden können, trägt die Menge aller in natürlicher Weise eine Vektorraumstruktur, nämlich die des .
Die folgende Bemerkung stellt diesen Sachverhalt noch einmal in der
matrixtypischen Notation dar.
Bemerkung: Sind und zwei , , so setzen wir:
Die Menge (General Linear Group)
ist mit den eingeführten Operationen ein Vektorraum.
In der Funktionensichtweise entspricht die Matrizenaddition exakt der
Funktionenaddition:
und die skalare Multiplikation genau der Vervielfachung von Funktionen:
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