9.11. Lineare Abbildungen und Matrizen

Wir betrachten in diesem Abschnitt gesondert die linearen Abbildungen zwischen endlichen Vektorräumen, im Prinzip also die linearen Abbildungen von ${\displaystyle {ℝ}^m}$ nach ${\displaystyle {ℝ}^n}$. Im Abschnitt 9.8 haben wir den Funktionenaspekt bei Matrizen betont und dort u.a. gezeigt, dass die Matrixanwendung mit den Rechenregeln des ${\displaystyle {ℝ}^m}$ verträglich ist, dass also Matrizen spezielle lineare Abbildungen sind. Interessant ist nun, dass damit bereits alle linearen Abbildungen gegeben sind!

In den folgenden Ausführungen legen wir für jeden ${\displaystyle {ℝ}^n}$ stets die Standardbasis zugrunde!

Beachte:

Die für Matrizen und lineare Abbildungen parallel gebildeten Begriffe führen nicht zu Konflikten, die eingeführten Rechenarten sind identisch. Ist z.B. ${\displaystyle f=\left(a_{ij}\right)}$ und ${\displaystyle g=\left(b_{ij}\right)}$, so hat man:

• ${\displaystyle Kerf=Ker\left(a_{ij}\right)}$.
   
• ${\displaystyle \mathit{\text{Im}}f=\mathit{\text{Im}}\left(a_{ij}\right)}$.
   
• ${\displaystyle f+g=\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)}$.
   
• ${\displaystyle \alpha f=\alpha \left(a_{ij}\right)}$.
   
• ${\displaystyle \text{GL}(m,n)=\text{Hom}({ℝ}^m,{ℝ}^n)}$.
   

Die folgende Liste enthält einige wichtige geometrischen Standardabbildungen des ${\displaystyle {ℝ}^n}$:
 

Beispiel:  Jede der aufgeführten Funktionen ist linear; ihre darstellende Matrix ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ ist jeweils rechts notiert.       1.     ${\displaystyle \mathbf{0}:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$ ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(0\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right)}$ .       2.     ${\displaystyle {\text{id}}_V={\text{X}}_V:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$ ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left({\delta }_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)}$ .       3.     ${\displaystyle L_{\alpha }:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$ ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\alpha \left({\delta }_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\alpha & 0& \cdots & 0\\ 0& \alpha & & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \alpha \end{array}\right)}$ .       4.     ${\displaystyle P_i:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$, gegeben durch ${\displaystyle P_i(\mathit{x})=x_i{\mathit{e}}_i}$, die Projektion auf die i-te Koordinate.   ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}0& & & \cdots & & & 0\\ & \ddots & & & & & \\ & & 0& & & & \\ ⋮& & & 1& & & ⋮\\ & & & & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ 0& & & \cdots & & & 0\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \\ \leftarrow i\text{-te Zeile}\text{.}\\ \\ \\ \end{array}}$       5.     ${\displaystyle S_i:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$, gegeben durch ${\displaystyle S_i(\mathit{x})=\left(\begin{array}{c}⋮\\ -x_i\\ ⋮\end{array}\right)}$ ,            die Spiegelung in der i-ten Koordinate.   ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& & \cdots & & & 0\\ 0& \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ ⋮& & & -1& & & ⋮\\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & 0\\ 0& & & \cdots & & 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \\ \leftarrow i\text{-te Zeile}\text{.}\\ \\ \\ \end{array}}$       6.     ${\displaystyle D_{i,\alpha }:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$, gegeben durch ${\displaystyle D_{i,\alpha }(\mathit{x})=\left(\begin{array}{c}⋮\\ \alpha x_i\\ ⋮\end{array}\right)}$ ,    die Dehnung in der i-ten Koordinate um den Faktor a.   ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& & \cdots & & & 0\\ 0& \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ ⋮& & & \alpha & & & ⋮\\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & 0\\ 0& & & \cdots & & 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \\ \leftarrow i\text{-te Zeile}\text{.}\\ \\ \\ \end{array}}$       7.     ${\displaystyle V_{i,j}:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$, gegeben durch ${\displaystyle V_{i,j}\left(\begin{array}{c}⋮\\ x_i\\ ⋮\\ x_j\\ ⋮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}⋮\\ x_j\\ ⋮\\ x_i\\ ⋮\end{array}\right)}$ , die Vertauschung von i-ter und j-ter Koordinate.   ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& & \cdots & & & 0\\ 0& \ddots & & & & & \\ & & 0& \cdots & 1& & \\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & & 1& \cdots & 0& & \\ & & & & & \ddots & 0\\ 0& & & \cdots & & 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \leftarrow i\text{-te Zeile}\\ \phantom{x}\\ \leftarrow j\text{-te Zeile}\\ \\ \end{array}}$ .       8.     ${\displaystyle R_{i,j,\alpha }:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$, gegeben durch     ${\displaystyle R_{i,j,\alpha }\left(\begin{array}{c}⋮\\ x_i\\ ⋮\\ x_j\\ ⋮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}⋮\\ x_i\cos \alpha -x_j\sin \alpha \\ ⋮\\ x_i\sin \alpha +x_j\cos \alpha \\ ⋮\end{array}\right)}$ , ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& & \cdots & & & 0\\ 0& \ddots & & & & & \\ & & \cos \alpha & \cdots & -\sin \alpha & & \\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & & \sin \alpha & \cdots & \cos \alpha & & \\ & & & & & \ddots & 0\\ 0& & & \cdots & & 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \leftarrow i\text{-te Zeile}\\ \phantom{x}\\ \leftarrow j\text{-te Zeile}\\ \\ \end{array}}$ .   die Drehung (Rotation) um den Winkel α in der i, j-Ebene.

Bei den linearen Abbildungen ist die Summe und das α-fache bereits auf Matrixebene darstellbar. Zur Hintereinanderausführung fehlt bislang eine entsprechende Rechenmethode. Diese Lücke füllt nun das Matrizenprodukt:
 

Definition:  Ist ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ eine k × n - Matrix und ${\displaystyle \left(b_{ij}\right)}$ eine n × m - Matrix, so heißt die k × m - Matrix ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right)=\left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)=\left({\mathit{a}}_{i•}\cdot {\mathit{b}}_{•j}\right)}$ das Produkt von ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ und ${\displaystyle \left(b_{ij}\right)}$.

Beachte:

• In der Produktmatrix steht in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gerade das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ mit dem   j-ten Spaltenvektor von ${\displaystyle \left(b_{ij}\right)}$.
   
• Der  j-te Spaltenvektor der Produktmatrix ist der Vektor ${\displaystyle \left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•j}}$ , also:
   
  ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right)=\left(\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•m}\right)}$ .

   

• Der i-te Zeilenvektor der Produktmatrix ergibt sich aus dem Matrixprodukt ${\displaystyle \left({\mathit{a}}_{i•}\right)\left(b_{ij}\right)}$, d.h.:
   
  ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right)=\left(\begin{array}{c}\left({\mathit{a}}_{1•}\right)\left(b_{ij}\right)\\ ⋮\\ \left({\mathit{a}}_{k•}\right)\left(b_{ij}\right)\end{array}\right)}$ .
  
   

 

Beispiel:   ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 0\\ 2& 7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ 12& 0\\ 13& 14\end{array}\right)}$ .

 

Bemerkung:   ${\displaystyle g:{ℝ}^m\to {ℝ}^n}$ und ${\displaystyle f:{ℝ}^n\to {ℝ}^k}$ seien zwei lineare Abbildungen. Sind ${\displaystyle \left(b_{ij}\right)}$ und ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ die darstellenden Matrizen von g bzw.  f, so ist ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)}$ die darstellende Matrix von ${\displaystyle f\circ g:{ℝ}^m\to {ℝ}^k}$:   ${\displaystyle f\circ g=\left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)}$. Beweis: Es reicht zu zeigen, dass die Spaltenvektoren von ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)}$ die Bilder der Einheitsvektoren ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_m}$ des ${\displaystyle {ℝ}^m}$ sind. Wir nutzen dabei aus, dass man das Matrix-Bild eines Vektors sowohl mit Hilfe der Spalten- als auch mit Hilfe der Zeilenvektoren berechnen kann. ${\displaystyle \begin{array}{lll}f(g({\mathit{e}}_j))\hfill & =f({\mathit{b}}_{•j})\hfill & \hfill \\ \hfill & =f(b_{1j}{\mathit{e}}_1+\dots +b_{nj}{\mathit{e}}_n)\hfill & \hfill \\ \hfill & =b_{1j}f({\mathit{e}}_1)+\dots +b_{nj}f({\mathit{e}}_n)\hfill & \hfill \\ \hfill & =b_{1j}{\mathit{a}}_{•1}+\dots +b_{nj}{\mathit{a}}_{•n}\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•j}\hfill & \text{"Spaltenvektormethode"}\hfill \\ \hfill & =\left(\begin{array}{c}{\mathit{a}}_{1•}\cdot {\mathit{b}}_{•j}\\ ⋮\\ {\mathit{a}}_{k•}\cdot {\mathit{b}}_{•j}\end{array}\right)\hfill & \text{"Zeilenvektormethode"}\hfill \end{array}}$ Der zum Schluß notierte Vektor ist aber gerade der  j-te Spaltenvektor der Produktmatrix ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)}$.

 
Beachte:

• Für das Matrizenprodukt gelten somit alle Rechenregeln, die die Komposition von Funktion erfüllt. Insbesondere ist das Matrizenprodukt
   
  • assoziativ:  ${\displaystyle (\left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right))\cdot \left(c_{ij}\right)=\left(a_{ij}\right)\cdot (\left(b_{ij}\right)\cdot \left(c_{ij}\right))}$.
     
  • i.a. nicht kommutativ:  ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)\ne \left(b_{ij}\right)\cdot \left(a_{ij}\right)}$.

     

•  Unter den quadratischen Matrizen, also in GL(n,n), ist die Einheitsmatrix das neutrale Element:
   
  ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot \left({\delta }_{ij}\right)=\left(a_{ij}\right)=\left({\delta }_{ij}\right)\cdot \left(a_{ij}\right)}$.

   

Wir untersuchen nun, wie sich die Matrizenmultiplikation zu den anderen Rechenoperationen verhält. Zwar sind die erwarteten Verträglichkeitsregeln tatsächlich auch gegeben, da aber die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, sind stets zwei Versionen der jeweiligen Regel zu formulieren und zu beweisen!
 

Bemerkung:  Die Matrizenmultiplikation ist        1.  distributiv bzgl. der Vektoraddition:   ${\displaystyle (\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right))\left(c_{ij}\right)=\left(a_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)}$.   ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)(\left(b_{ij}\right)+\left(c_{ij}\right))=\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right)+\left(a_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)}$.        2.  distributiv bzgl. der Vektorsubtraktion:           ${\displaystyle (\left(a_{ij}\right)-\left(b_{ij}\right))\left(c_{ij}\right)=\left(a_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)-\left(b_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)}$.   ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)(\left(b_{ij}\right)-\left(c_{ij}\right))=\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right)-\left(a_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)}$.        3.  verträglich mit der skalaren Multiplikation:  ${\displaystyle (\alpha \left(a_{ij}\right))\left(b_{ij}\right)=\alpha (\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right))=\left(a_{ij}\right)(\alpha \left(b_{ij}\right))}$.   Beweis:  In allen Fällen können wir die Behauptung auf die bekannten Rechenregeln für Matrizen zurückführen, denn die Spaltenvekoren der Produktmatrix sind ja Vektoren der Form ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\mathit{x}}$.   ${\displaystyle \begin{array}{lll}\text{Zu 1}\text{.:}\hfill & (\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right))\left(c_{ij}\right)\hfill & =\left((\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)){\mathit{c}}_{•1}\dots (\left(a_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)){\mathit{c}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(\left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•1}+\left(b_{ij}\right){\mathit{c}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•n}+\left(b_{ij}\right){\mathit{c}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(\left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•n}\right)+\left(\left(b_{ij}\right){\mathit{c}}_{•1}\dots \left(b_{ij}\right){\mathit{c}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(a_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)+\left(b_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)\text{.}\hfill \end{array}}$   ${\displaystyle \begin{array}{lll}\text{und:}\hfill & \left(a_{ij}\right)(\left(b_{ij}\right)+\left(c_{ij}\right))\hfill & =\left(\left(a_{ij}\right)({\mathit{b}}_{•1}+{\mathit{c}}_{•1})\dots \left(a_{ij}\right)({\mathit{b}}_{•n}+{\mathit{c}}_{•n})\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1}+\left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•n}+\left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•n}\right)+\left(\left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{c}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right)+\left(a_{ij}\right)\left(c_{ij}\right)\text{.}\hfill \end{array}}$   2. führt man mit 3. sofort auf 1. zurück.   ${\displaystyle \begin{array}{lll}\text{Zu 3}\text{.:}\hfill & (\alpha \left(a_{ij}\right))\left(b_{ij}\right)\hfill & =\left((\alpha \left(a_{ij}\right)){\mathit{b}}_{•1}\dots (\alpha \left(a_{ij}\right)){\mathit{b}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(\alpha (\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1})\dots \alpha (\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•n})\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\alpha \left(\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\alpha (\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right))\text{.}\hfill \end{array}}$   ${\displaystyle \begin{array}{lll}\text{und:}\hfill & \left(a_{ij}\right)(\alpha \left(b_{ij}\right))\hfill & =\left(\left(a_{ij}\right)(\alpha {\mathit{b}}_{•1})\dots \left(a_{ij}\right)(\alpha {\mathit{b}}_{•n})\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\left(\alpha (\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1})\dots \alpha (\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•n})\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\alpha \left(\left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•1}\dots \left(a_{ij}\right){\mathit{b}}_{•n}\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & =\alpha (\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right))\text{.}\hfill \end{array}}$

Wir wenden uns nun den Isomorphismen in ${\displaystyle \text{Hom}({ℝ}^n,{ℝ}^n)}$ und ihren darstellenden Matrizen zu.
  

Bemerkung:    ${\displaystyle f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$ sei linear. Dann gilt: f  ist Isomorphismus${\displaystyle \iff Kerf=\left\{\mathbf{0}\right\}}$.   Beweis:  Nach einer Bemerkung im letzten Abschnitt wissen wir: f  injektiv${\displaystyle \iff Kerf=\left\{\mathbf{0}\right\}}$.   Damit ist diese Richtung "${\displaystyle \Rightarrow }$" bereits bewiesen, und zur Gültigkeit von "${\displaystyle \Leftarrow }$" fehlt nur noch der Nachweis der Surjektivität. Ist aber ${\displaystyle Kerf=\left\{\mathbf{0}\right\}}$, so erhält f die lineare Unabhängigkeit. Mit ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n}$ ist also auch ${\displaystyle \begin{array}{ll}\hfill & f({\mathit{e}}_1),\dots ,f({\mathit{e}}_n)\text{linear unabhängig in}{ℝ}^n\hfill \\ \Rightarrow \hfill & f({\mathit{e}}_1),\dots ,f({\mathit{e}}_n)\text{Basis des}{ℝ}^n\hfill \\ \Rightarrow \hfill & {ℝ}^{\text{n}}=<f({\mathit{e}}_1),\dots ,f({\mathit{e}}_n)>=f(<{\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n>)\hfill \\ \Rightarrow \hfill & f\text{ist surjektiv}\text{.}\hfill \end{array}}$

Beachte:

Die regulären n × n - Matrizen stellen somit genau die Isomorphismen von ${\displaystyle {ℝ}^n\to {ℝ}^n}$ dar. Man hat daher insbesondere:

•  Sind ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ und ${\displaystyle \left(b_{ij}\right)}$ reguläre n × n - Matrizen, so ist auch ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot \left(b_{ij}\right)}$ regulär.
   
• ${\displaystyle \left({\delta }_{ij}\right)}$ ist regulär.
   
• Zu jeder regulären n × n - Matrix ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ gibt ist genau eine inverse Matrix ${\displaystyle {\left(a_{ij}\right)}^{-1}}$, so dass
   
  ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\cdot {\left(a_{ij}\right)}^{-1}=\left({\delta }_{ij}\right)={\left(a_{ij}\right)}^{-1}\cdot \left(a_{ij}\right)}$.
  
   
• Die Menge 
  ${\displaystyle \text{Aut}(n)=\{\left(a_{ij}\right)|\left(a_{ij}\right)\text{ist reguläre}n\times n\text{-Matrix}\}=\{f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n|f\text{ist Isomorphismus}\}}$

  bildet mit der Matrizenmultiplikation eine nicht-kommutative Gruppe, die sog. Automorphismengruppe des ${\displaystyle {ℝ}^n}$.

  Die typischen Eigenschaften der Inversenbildung heißen hier Rechenregeln für reguläre n × n - Matrizen:
   

  • ${\displaystyle {\left({\delta }_{ij}\right)}^{-1}=\left({\delta }_{ij}\right).}$
  • ${\displaystyle {({\left(a_{ij}\right)}^{-1})}^{-1}=\left(a_{ij}\right).}$
  • ${\displaystyle {(\left(a_{ij}\right)\left(b_{ij}\right))}^{-1}={\left(b_{ij}\right)}^{-1}{\left(a_{ij}\right)}^{-1}.}$

 

Beispiel:  Wir ermitteln in diesem Beispiel zu einigen regulären 2 × 2 - Matrizen die inverse Matrix. Dabei liegt stets der entsprechende inverse Isomorphismus  f -1 vor, so dass man nur die zu  f -1 gehörige Matrix aufzustellen hat. Die Spiegelung in der ersten Koordinate ist zu sich selbst invers. Also ist   ${\displaystyle {\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$ Die Dehnung in der zweiten Koordinate um einen Faktor ${\displaystyle \alpha \ne 0}$ hat die Dehnung um den Faktor ${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$ als inversen Isomorphismus. D.h.:   ${\displaystyle {\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \alpha \end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\alpha $}\right.\end{array}\right)}$ Die Drehung um einen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ wird durch die Drehung um den Winkel ${\displaystyle -\alpha }$ aufgehoben.Also gilt:   ${\displaystyle {\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos (-\alpha )& -\sin (-\alpha )\\ \sin (-\alpha )& \cos (-\alpha )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)}$

Wie geht man aber nun im allgemeinen Fall vor, wenn also  f ^-1 nicht bekannt ist? Interessanterweise kann man hier den Gauß-Algorithmus einsetzen, denn die Suche nach (der eindeutig bestimmten Matrix) ${\displaystyle {\left(a_{ij}\right)}^{-1}}$ entspricht direkt der Aufgabe, die Matrizengleichung

zu lösen. Da nun die Spaltenvektoren von ${\displaystyle \left({\delta }_{ij}\right)}$ gerade die Einheitsvektoren ${\displaystyle {\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_n}$ sind, ist die Gleichung äquivalent zu den folgenden n (gewöhnlichen) linearen Gleichungen:

Damit erhält man nun das folgende Schema zur Errechnung von ${\displaystyle {\left(a_{ij}\right)}^{-1}}$:

1. Mit der Gleichung ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\mathit{x}=0}$ prüft man zunächst ob ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ regulär ist, also ob ${\displaystyle Ker\left(a_{ij}\right)=\left\{\mathbf{0}\right\}}$ zutrifft. 
2. Man löst dann der Reihe nach die Gleichungen ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\mathit{x}={\mathit{e}}_1,\dots ,\left(a_{ij}\right)\mathit{x}={\mathit{e}}_n}$.
3. Die Lösungsvektoren bilden nun in der gewonnenen Reihenfolge die Spaltenvektoren der gesuchten Matrix ${\displaystyle {\left(a_{ij}\right)}^{-1}}$.

Bei der praktischen Durchführung kann man natürlich das Gauß-Applet für sich arbeiten lassen!

 

Beispiel:  Wir betrachten in diesem Beispiel die Matrix ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}$. Der Gauß-Algorithmus liefert nun die folgenden Daten: ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\mathit{x}=\mathbf{0}\iff \mathit{x}=\mathbf{0}}$ und: ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)\mathit{x}={\mathit{e}}_1\iff x=\left(\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ -\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\end{array}\right),\left(a_{ij}\right)\mathit{x}={\mathit{e}}_2\iff x=\left(\begin{array}{c}-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\end{array}\right),\left(a_{ij}\right)\mathit{x}={\mathit{e}}_3\iff x=\left(\begin{array}{c}\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ -\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\end{array}\right)}$ . Also ist ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}$ regulär und ${\displaystyle {\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 2& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.& -\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ -\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.& \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.& \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.& -\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.\end{array}\right)=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ -2& 1& 4\\ 2& 2& -4\end{array}\right)}$ .

9.10

9.12.