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In diesem Kapitel wenden wir uns wieder den allgemeinen reellwertigen Funktionen zu.
Wir untersuchen dabei diejenigen Funktionen, deren Funktionswerte durch das Verhalten der Funktion an den Nachbarpunkten beeinflußt werden, und so eine gewisse Kontinuität des Funktionsverlaufs gewährleisten. Da im bloßen Funktionsbegriff ein solches Zusammenspiel nicht gefordert ist, erwarten wir, dass solche Funktionen komplexere Eigenschaften besitzen.
Diese Untersuchungen werden mit konvergenten Folgen durchgeführt, denn mit ihnen läßt sich das Funktionsverhalten in beliebiger Nähe eines Punktes studieren.
Die Entwicklung und Präzisierung des Stetigkeitsbegriffs benötigte viel Zeit. Ansätze finden sich bei L. Euler; aber erst A. L. Cauchy und B. Bolzano stellen Konzepte auf, die unserem heutigen Bild ähneln. Wichtige Beispiele stetiger Funktionen mit besonderen Eigenschaften stammen von B. Riemann.
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